Lusin 定理

Lusin 定理（Лузин 定理，盧津定理）是實分析和測度論中一個揭示可測函數的連續程度的定理：可測函數「差不多」是連續的。

內容

設$f(x)$是有限維 Euclid 空間上點集$E \subseteq \R^n$的一幾乎處處有限的可測函數，那麼對任意的$\delta > 0$，存在可測集$F$滿足$m(E-F) < \delta$使得$f(x)$在$F$上連續。

它的結論不能改為$f(x)$在$E$上幾乎處處連續。

推論

1. 設$f(x)$是有限維 Euclid 空間上點集$E \subseteq \R^n$的一幾乎處處有限的可測函數，那麼存在$\delta > 0$，存在一$\R^n$上的連續函數使得
   $$m(x \in E: f(x) \ne g(x)) < \delta.$$
2. 設$f(x)$是有限維 Euclid 空間上點集$E \subseteq \R^n$的一幾乎處處有限的可測函數，那麼存在$\R^n$上的一連續函數列$\{ g_k(x) \}_{k=1}^\infty$，其在$E$上幾乎處處收斂於$f(x).$

高維推廣

設$\mu$是$\R^n$上的正則的 Borel 測度，$f: \R^n \to \R^m$是$\mu$-可測映射。$X$是$\R^n$中的$\mu$可測集，且$\mu(X) < +\infty$，那麼對任意$\varepsilon > 0$，存在緊集$K \subset X$使得$\mu(X-K) < \varepsilon$，且$f(x)$限制到$K$上是連續函數。

拓撲可測空間

假設$\mu$是局部緊的 Hausdorff 的拓撲可測空間$X$上的 Radon 測度，$f: X \to \C$是一個復可測函數且$f(M^c) = 0, \exists M \subset X: \mu(M) < +\infty$，那麼對任意的$\varepsilon > 0$存在$\phi \in C_c(X)$以及$N \subset X, \mu(N) < \varepsilon$使得在$M-N$上$\phi = f.$

參考資料

1. 周民強, 《實變函數論（第三版）》, 北京大學出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.