Lusin 定理

Lusin 定理（Лузин 定理，卢津定理）是实分析和测度论中一个揭示可测函数的连续程度的定理：可测函数“差不多”是连续的。

内容

设$f(x)$是有限维 Euclid 空间上点集$E \subseteq \R^n$的一几乎处处有限的可测函数，那么对任意的$\delta > 0$，存在可测集$F$满足$m(E-F) < \delta$使得$f(x)$在$F$上连续。

它的结论不能改为$f(x)$在$E$上几乎处处连续。

推论

1. 设$f(x)$是有限维 Euclid 空间上点集$E \subseteq \R^n$的一几乎处处有限的可测函数，那么存在$\delta > 0$，存在一$\R^n$上的连续函数使得
   $$m(x \in E: f(x) \ne g(x)) < \delta.$$
2. 设$f(x)$是有限维 Euclid 空间上点集$E \subseteq \R^n$的一几乎处处有限的可测函数，那么存在$\R^n$上的一连续函数列$\{ g_k(x) \}_{k=1}^\infty$，其在$E$上几乎处处收敛于$f(x).$

高维推广

设$\mu$是$\R^n$上的正则的 Borel 测度，$f: \R^n \to \R^m$是$\mu$-可测映射。$X$是$\R^n$中的$\mu$可测集，且$\mu(X) < +\infty$，那么对任意$\varepsilon > 0$，存在紧集$K \subset X$使得$\mu(X-K) < \varepsilon$，且$f(x)$限制到$K$上是连续函数。

拓扑可测空间

假设$\mu$是局部紧的 Hausdorff 的拓扑可测空间$X$上的 Radon 测度，$f: X \to \C$是一个复可测函数且$f(M^c) = 0, \exists M \subset X: \mu(M) < +\infty$，那么对任意的$\varepsilon > 0$存在$\phi \in C_c(X)$以及$N \subset X, \mu(N) < \varepsilon$使得在$M-N$上$\phi = f.$

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.