Lp 空间

在实分析中，$L^p$空间是一种特殊的赋范线性空间，还是 Banach 空间，其中的元素是可测函数，范数按照 Lebesgue 积分的幂次定义，两个函数的距离按照差的 Lebesgue 积分的幂次定义。

它是 Lebesgue 测度上的可积函数测度空间，当测度换为离散形式时有$l^p$空间，这个空间中成立反向的不等式，因此和上述$L^p$空间某些性质相反。

概念

设有定义在可测集$E \subseteq \R^n$上的可测函数$f(x)$，常数$p \in \R^+$，下述数值

$$\| f \|_p := \left( \int_E |f(x)|^p \mathrm{d}x \right)^\frac{1}{p}$$

为有限数时，称其为函数$f(x)$在$E$上的$L^p$范数（可以验证它确实是一个范数），上述积分是 Lebesgue 积分，上述范数有时也记作$\| f \|_{L^p(E)}$。收集$E$上全体$L^p$范数有限的函数，称其为$L^p$空间，记作$L^p(E).$当$p = +\infty$的情形详见 L∞ 空间。

在这个空间里，几乎处处相等的函数被视为同一个元素，因此实际上$L^p(E)$空间中的元素是所有$E$上可测函数全体构成的集合$M(E)$再商掉如下等价关系：

$$\forall f, g \in M(E), f \sim g \iff f(x) = g(x), \quad \text{a.e. } x \in E.$$

的商空间$M(E)/\sim.$不过我们一般在这里不总是声明这个差别。

关于$0 < p < 1$的情形，参见/拟范数空间。

不等式

$L^p$空间中有两个基本的不等式，即 Hölder 不等式和 Minkowski 不等式

1. Hölder 不等式：$f \in L^p(E), g \in L^q(E), \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1, 1 \leqslant p \leqslant +\infty$，那么
   $$\| fg \|_1 \leqslant \| f \|_p \cdot \| g \|_q.$$
   当$0 < p < 1$而其它条件不变时，不等号反向。
2. Minkowski 不等式：$f, g \in L^p(E), 1 \leqslant p \leqslant +\infty$，那么
   $$\| f + g \|_p \leqslant \| f \|_p + \| g \|_p.$$
   当$0 < p < 1$而其它条件不变并要求$f, g$非负时，不等号反向。

有关这两个不等式的推广参见对应页面。

结构性质

1. $L^p$空间是线性空间，即$\forall f, g \in L^p(E), k, l \in \R, kf + lg \in L^p(E).$
2. 嵌入（embedding）性质：设$0 < p \leqslant q \leqslant + \infty, m(E) < +\infty$，那么
   $$L^q(E) \subseteq L^p(E)$$
   即$p$越大，条件越苛刻，空间中的元素越“少”，性质越不好。注意这里要求$E$测度有限，否则不一定成立。
3. 内插（interpolation）性质：设$0<r<p<s\leqslant +\infty ,f(x)\in L^{r}(E)\cap L^{s}(E)$以及常数$\lambda \in (0, 1)$满足$\dfrac{1}{p} = \dfrac{\lambda}{r} + \dfrac{1-\lambda}{s}$，那么有
   $$\| f \|_p \leqslant \| f \|_r^\lambda + \| f \|_s^{1-\lambda}.$$
   特别地有
   $$\| f \|_p \leqslant \max\{ \| f \|_r, \| f \|_s \}.$$
4. $L^p$空间是完备的度量空间（即 Banach 空间），其中的任意 Cauchy 列都收敛于该空间中的一个元素。
5. $L^p$空间是可分空间。
6. $L^2$空间是内积空间，特别地它还是 Hilbert 空间。
7. 具有紧支集的连续函数类$C_0^\infty(U)$在$L^p(U)$中稠密，这里$1 \leqslant p < +\infty.$
8. $L^p$空间是一致凸的 Banach 空间（使用 Clarkson 不等式），进而是自反空间，这里$1 < p < +\infty.$

预紧集

$L^p$空间是 Banach 空间，因此其中有预紧集的概念，度量空间$X$中的预紧集定义是：$A \subset X$是预紧集如果$\overline{A}$是紧集。在 Banach 空间中这等价于对任意的$\varepsilon > 0$$A$有有限的$\varepsilon$网（完全有界集），在$L^p$空间中，$A \subset L^p(U)$是预紧集当且仅当对任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$以及紧包含于$U$的集合$G$（即$G \subset \overline{G} \subset U$）使得对任意的$u(x) \in A$以及满足$|h|<\delta$的$h \in \R^n$成立：

1. $\| u(x+h) - u(x) \|_{L^p(U)} < \varepsilon.$
2. $\| u(x) \|_{L^p(\R^n-U)} < \varepsilon.$

在上述积分中函数没有定义的地方使用零值代替。这是$L^p$空间中类似的 Arzela-Ascoli 定理，详见 Kolmogorov-Riesz-Frechet 定理。

另外，假设$U \subset \R^n$是开集，$1 \leqslant p < +\infty$且$A \subset L^p(U)$如果存在$U$的一列子集合$\{ U_j \}$，满足：

1. 递增性质：$U_j \subset U_{j+1}, \forall j = 1,2,\cdots.$
2. $A$中的函数限制在$U_j$上形成的集合是$L^p(U_j)$中的预紧集。
3. 对任意的$\varepsilon > 0$存在$j \in \N$使得$\| u \|_{L^p(U-U_j)} < \varepsilon, \forall u \in A.$

那么$A$是$L^p(U)$中的预紧集。

弱序列紧集

当$1 < p < \infty$时，由于$L^p(U)$自反，由 Eberlein-Schmulyan 定理得到任意$L^p(U)$中的强有界闭集是弱序列紧的，即存在弱收敛序列，另外我们由角谷定理也可以得到强有界闭凸集同时也是弱紧的。

但是当$p = 1$时问题就复杂了，我们不能有已有的泛函中的结果来表达弱紧性，这时有 Dunford-Pettis 定理，它表明：

$L^1(U)$中的有界集是弱预紧的（即在弱拓扑下有弱紧的闭包）当且仅当这个集合满足下面两条：

1. $\mathcal{F}$是等度可积的，对任意$\varepsilon > 0$存在$\delta > 0$使得对任意满足$m(A) < \delta$的可测集$A$以及任意$f \in \mathcal{F}$都有
   $$\int_A |f| \mathrm{d}x < \varepsilon.$$
2. $\mathcal{F}$是一致绝对连续的，对任意$\varepsilon > 0$存在$U$中有限测度的可测集$\omega$使得对任意$f \in \mathcal{F}$都有
   $$\int_{U\setminus\omega} |f| \mathrm{d}x < \varepsilon.$$

Riesz 表示定理

在$L^p$空间$L^p(U)$（$1 \leqslant p < +\infty$）中，这个表示定理表现为：

假设$L$是$L^p(U)$中的一个线性泛函，那么存在一个$v \in L^q(U), \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1$使得对任意的$u \in L^p(U)$均有

$$L(u) = L_v(u) = \int_U u(x) v(x) \mathrm{d}x.$$

且泛函的范数$\| L \| = \| v \|_{L^q(U)}.$这表明$L^p(U)$的对偶空间是$L^q(U)$，注意$p \ne + \infty.$

弱收敛

定义和叙述$L^p$空间上的弱收敛只需要注意到当$1 \leqslant p < +\infty$时$L^p$空间的对偶空间是$L^q$空间，其中$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1.$而$L^\infty$空间用这样的方法不能定义弱收敛，但是可以定义更弱的*弱收敛：一个$L^\infty(U)$上的函数序列$f_n$*弱收敛到$f \in L^\infty(U)$当且仅当对任意的$\varphi \in L^1(U)$都有

$$\int_U f_k \varphi \mathrm{d}x \to \int_U f \varphi \mathrm{d}x.$$

当$1 < p < +\infty$时，$L^p$空间是自反的 Banach 空间，因此根据 Eberlein-Schmulyan 定理，任意有界序列也就有弱收敛的子列，但是对于两个临界指标$p = 1 \text{ or } +\infty$而言要复杂一些了，下面是一些相关结果：

1. （$p = +\infty$）$L^\infty$空间中任意有界序列都有*弱收敛的子列。
2. （$p = 1$，微咬引理）假设$U$有界，那么任意$L^1(U)$上的有界序列，都存在一个$U-E$上弱收敛的子列，这里$E$是一个很小的正测集。

关于$p = +\infty$的场合刻画弱收敛型态有一个有关 Young 测度的结果。

根据 Banach-Steinhaus 定理的推论，当$1<p\leqslant +\infty$的时候，$\{f_{n}\}\subset L^{p}(X)$弱收敛（$p = +\infty$时改为 *弱收敛）到$f\in L^{p}(X)$当且仅当序列$\{ f_n \}$的$L^{p}(X)$模有界并且对任意的有限测度集合$E$都有$\int _{E}f_{n}\mathrm {d} x\to \int _{E}f\mathrm {d} x.$这是因为有限简单函数在$L^{p'}(X)$中稠密，注意这个结论在$p = 1$，$\mu(X) < +\infty$的时候依旧成立，但是当$\mu (X)=+\infty$的时候后者推不出前者，参见下面的例子：构造定义在实数空间上的函数序列$f_{n}=f_{0}(x+n)$，其中$u_{0}=\chi _{[0,1]}$。

混合范数

详见混合范数$L^p$空间。

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.
2. Haïm Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer Science&Business Media, 2010-11, ISBN 978-0-3877-0913-0.