Lorentz 空间 是一类特殊的函数空间,它是 Lp 空间 和弱 Lp 空间 的推广。
定义 [ ]
假设有测度空间
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
以及指标
p
,
q
∈
(
0
,
+
∞
]
{\displaystyle p,q\in (0,+\infty ]}
,给定复值可测函数
f
:
X
→
C
{\displaystyle f: X \to \C}
,记它的分布函数 是
a
f
{\displaystyle a_f}
,递减重排 是
f
∗
{\displaystyle f^*}
,那么当如下的量
‖
f
‖
p
,
q
:=
{
(
∫
0
+
∞
[
t
f
∗
(
t
)
p
]
q
p
d
t
t
)
1
q
,
q
<
+
∞
,
sup
t
>
0
t
1
p
f
∗
(
t
)
,
q
=
+
∞
.
{\displaystyle \|f\|_{p,q}:={\begin{cases}\displaystyle {\left(\int _{0}^{+\infty }{\big [}tf^{*}(t)^{p}{\big ]}^{\frac {q}{p}}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}},&q<+\infty ,\\\sup \limits _{t>0}t^{\frac {1}{p}}f^{*}(t),&q=+\infty .\end{cases}}}
有限的时候我们就称
f
{\displaystyle f}
是
L
p
,
q
{\displaystyle L^{p,q}}
可积的,收集所有
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
上的
L
p
,
q
{\displaystyle L^{p,q}}
可积函数全体记作
L
p
,
q
(
X
,
μ
)
{\displaystyle L^{p,q}(X,\mu )}
,简记作
L
p
,
q
(
X
)
{\displaystyle L^{p,q}(X)}
,称为指标是
p
,
q
{\displaystyle p,q }
的 Lorentz 空间,我们把其中几乎处处相等的函数视作同一个函数,因此
L
p
,
q
(
X
)
{\displaystyle L^{p,q}(X)}
连同
‖
⋅
‖
p
,
q
{\displaystyle \|\cdot \|_{p,q}}
构成一赋拟范数的
线性空间 。
一般而言
‖
⋅
‖
p
,
q
{\displaystyle \|\cdot \|_{p,q}}
未必满足三角不等式,因此他可能不是范数,但是下面我们将指出
p
,
q
>
1
{\displaystyle p,q>1}
的时候是可赋范化的。
基本性质 [ ]
下面均假设出现的函数是测度空间
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
上的复值可测函数,且指标(例如
p
,
q
,
r
{\displaystyle p, q, r}
)均是属于
(
0
,
+
∞
]
{\displaystyle (0,+\infty ]}
的。
如果
f
∈
L
p
,
q
(
X
)
{\displaystyle f\in L^{p,q}(X)}
,
p
,
r
<
+
∞
{\displaystyle p,r<+\infty }
,那么
|
f
|
r
∈
L
p
/
r
,
q
/
r
(
X
)
{\displaystyle |f|^{r}\in L^{p/r,q/r}(X)}
且
‖
|
f
|
r
‖
p
/
r
,
q
/
r
=
‖
f
‖
p
,
q
r
.
{\displaystyle \||f|^{r}\|_{p/r,q/r}=\|f\|_{p,q}^{r}.}
这表明
L
p
,
q
{\displaystyle L^{p,q}}
上的可积等价于绝对可积。
简单函数的积分:假设
f
(
x
)
=
∑
i
=
1
N
a
i
χ
E
i
(
x
)
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{N}a_{i}\chi _{E_{i}}(x).}
其中
E
i
⊂
X
{\displaystyle E_{i}\subset X}
是有限测度的可测集且两两不交,
a
1
>
a
2
>
⋯
a
N
>
0.
{\displaystyle a_{1}>a_{2}>\cdots a_{N}>0.}
记号
χ
E
i
{\displaystyle \chi _{E_{i}}}
表示集合
E
i
{\displaystyle E_i}
的示性函数 ,那么
‖
f
‖
p
,
q
=
{
(
p
q
)
1
q
[
∑
i
=
1
N
a
i
q
(
B
i
q
p
−
B
i
−
1
q
p
)
]
1
q
,
p
,
q
<
+
∞
,
sup
1
⩽
i
⩽
N
a
i
B
i
1
p
,
p
<
+
∞
,
q
=
+
∞
,
{
0
,
f
=
0
,
a.e.
+
∞
,
otherwise
,
p
=
+
∞
,
q
<
+
∞
,
f
∗
(
0
)
=
a
1
,
p
=
q
=
+
∞
.
{\displaystyle \|f\|_{p,q}={\begin{cases}\displaystyle {\left({\dfrac {p}{q}}\right)^{\frac {1}{q}}\left[\sum _{i=1}^{N}a_{i}^{q}\left(B_{i}^{\frac {q}{p}}-B_{i-1}^{\frac {q}{p}}\right)\right]^{\frac {1}{q}}},&p,q<+\infty ,\\\displaystyle {\sup _{1\leqslant i\leqslant N}a_{i}B_{i}^{\frac {1}{p}}},&p<+\infty ,q=+\infty ,\\\quad {\begin{cases}0,&f=0,{\text{a.e.}}\\+\infty ,&{\text{otherwise}},\end{cases}}&p=+\infty ,q<+\infty ,\\f^{*}(0)=a_{1},&p=q=+\infty .\end{cases}}}
其中
B
0
=
0.
{\displaystyle B_{0}=0.}
分布函数#Lp 范数的分布表示 的推广:当
p
<
+
∞
{\displaystyle p < +\infty}
时成立
‖
f
‖
p
,
q
=
{
(
∫
0
+
∞
p
[
λ
p
a
f
(
λ
)
]
q
p
d
λ
λ
)
1
q
,
q
<
+
∞
,
sup
t
>
0
λ
a
f
(
λ
)
1
p
,
q
=
+
∞
.
{\displaystyle \|f\|_{p,q}={\begin{cases}\displaystyle {\left(\int _{0}^{+\infty }p{\big [}\lambda ^{p}a_{f}(\lambda ){\big ]}^{\frac {q}{p}}{\dfrac {\mathrm {d} \lambda }{\lambda }}\right)^{\frac {1}{q}}},&q<+\infty ,\\\sup \limits _{t>0}\lambda a_{f}(\lambda )^{\frac {1}{p}},&q=+\infty .\end{cases}}}
假设
q
<
r
{\displaystyle q<r}
,那么存在常数
C
p
,
q
,
r
{\displaystyle C_{p,q,r}}
使得
‖
f
‖
p
,
r
⩽
C
p
,
q
,
r
‖
f
‖
p
,
q
.
{\displaystyle \|f\|_{p,r}\leqslant C_{p,q,r}\|f\|_{p,q}.}
意即
L
p
,
q
(
X
)
⊂
L
p
,
r
(
X
)
.
{\displaystyle L^{p,q}(X)\subset L^{p,r}(X).}
这是
L
p
(
X
)
⊂
L
p
,
w
(
X
)
{\displaystyle L^{p}(X)\subset L^{p,w}(X)}
的想法的自然延伸。
完备性 [ ]
我们指出:Lorentz 空间是完备的,
p
=
∞
{\displaystyle p=\infty}
时
L
p
,
q
(
X
)
=
{
0
}
{\displaystyle L^{p,q}(X)=\{0\}}
,因此我们仅需考察
p
<
+
∞
{\displaystyle p < +\infty}
的情况。首先我们需要一个收敛性的结论:
假设
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
是
测度空间 ,
0
<
p
<
+
∞
,
0
<
q
⩽
+
∞
{\displaystyle 0<p<+\infty ,0<q\leqslant +\infty }
,
可测函数列
{
f
k
}
{\displaystyle \{ f_k \}}
依
L
p
,
q
{\displaystyle L^{p,q}}
拟范数收敛蕴含依测度收敛。
依
L
p
,
q
{\displaystyle L^{p,q}}
拟范数 Cauchy 蕴含依测度 Cauchy。 关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
当
q
<
+
∞
{\displaystyle q<+\infty }
时,由上面的#基本性质 的性质4得到
‖
f
‖
p
,
+
∞
⩽
C
p
,
q
,
+
∞
‖
f
‖
p
,
q
,
∀
f
∈
L
p
,
q
(
X
)
.
{\displaystyle \|f\|_{p,+\infty }\leqslant C_{p,q,+\infty }\|f\|_{p,q},\quad \forall f\in L^{p,q}(X).}
因此
L
p
,
q
{\displaystyle L^{p,q}}
收敛蕴含
L
p
,
∞
{\displaystyle L^{p,\infty }}
收敛,我们下面证明当
q
=
+
∞
{\displaystyle q=+\infty }
时的收敛性:给定
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon > 0}
存在
N
∈
N
+
{\displaystyle N \in \N^+}
使得当
n
>
N
{\displaystyle n > N}
时成立
‖
f
n
−
f
‖
p
,
∞
=
sup
λ
>
0
λ
(
a
f
(
λ
)
)
1
p
<
ε
1
+
1
p
.
{\displaystyle \|f_{n}-f\|_{p,\infty }=\sup _{\lambda >0}\lambda (a_{f}(\lambda ))^{\frac {1}{p}}<\varepsilon ^{1+{\frac {1}{p}}}.}
因此取
λ
=
ε
{\displaystyle \lambda =\varepsilon }
得到
a
f
(
ε
)
=
μ
(
{
x
∈
X
:
|
f
n
(
x
)
−
f
(
x
)
|
>
ε
}
)
<
ε
.
{\displaystyle a_{f}(\varepsilon )=\mu (\{x\in X:|f_{n}(x)-f(x)|>\varepsilon \})<\varepsilon .}
这就是依测度收敛的等价表述。
第二个结论是第一个结论的直接应用。
假设
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
是
测度空间 ,
0
<
p
,
q
⩽
+
∞
{\displaystyle 0<p,q\leqslant +\infty }
,那么
L
p
,
q
(
X
)
{\displaystyle L^{p,q}(X)}
关于拟范数
‖
⋅
‖
p
,
q
{\displaystyle \|\cdot \|_{p,q}}
完备。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
任取按照
L
p
,
q
{\displaystyle L^{p,q}}
拟范数 Cauchy 的可测函数列
{
f
k
}
{\displaystyle \{ f_k \}}
,由上面的性质这个序列是依测度的 Cauchy 列,由 Riesz 定理 存在子列
{
f
k
i
}
{\displaystyle \{f_{k_{i}}\}}
几乎处处收敛到一个几乎处处有限的可测函数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
。对任意固定的
i
0
{\displaystyle i_{0}}
注意到
|
f
−
f
k
i
0
|
=
lim
i
→
∞
|
f
k
i
−
f
k
i
0
|
{\displaystyle |f-f_{k_{i_{0}}}|=\lim _{i\to \infty }|f_{k_{i}}-f_{k_{i_{0}}}|}
由
递减重排#性质 10得到
(
f
−
f
k
i
0
)
∗
⩽
lim inf
i
→
∞
(
f
k
i
−
f
k
i
0
)
∗
{\displaystyle (f-f_{k_{i_{0}}})^{*}\leqslant \liminf _{i\to \infty }(f_{k_{i}}-f_{k_{i_{0}}})^{*}}
进一步
‖
f
−
f
k
i
0
‖
p
,
q
=
(
∫
0
+
∞
[
t
(
f
−
f
k
i
0
)
∗
(
t
)
p
]
q
p
d
t
t
)
1
q
⩽
(
∫
0
+
∞
[
t
(
lim inf
i
→
∞
(
f
k
i
−
f
k
i
0
)
∗
)
p
]
q
p
d
t
t
)
1
q
⩽
lim inf
i
→
∞
(
∫
0
+
∞
[
t
(
(
f
k
i
−
f
k
i
0
)
∗
)
p
]
q
p
d
t
t
)
1
q
=
lim inf
i
→
∞
‖
f
k
i
−
f
k
i
0
‖
p
,
q
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\quad ~\|f-f_{k_{i_{0}}}\|_{p,q}\\&=\left(\int _{0}^{+\infty }{\big [}t(f-f_{k_{i_{0}}})^{*}(t)^{p}{\big ]}^{\frac {q}{p}}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}\\&\leqslant \left(\int _{0}^{+\infty }{\big [}t(\liminf _{i\to \infty }(f_{k_{i}}-f_{k_{i_{0}}})^{*})^{p}{\big ]}^{\frac {q}{p}}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}\\&\leqslant \liminf _{i\to \infty }\left(\int _{0}^{+\infty }{\big [}t((f_{k_{i}}-f_{k_{i_{0}}})^{*})^{p}{\big ]}^{\frac {q}{p}}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}\\&=\liminf _{i\to \infty }\|f_{k_{i}}-f_{k_{i_{0}}}\|_{p,q}.\end{aligned}}}
用到了
控制收敛定理 和
Fatou 引理 。然后令
i
0
→
+
∞
{\displaystyle i_{0}\to +\infty }
即可得到
f
k
i
{\displaystyle f_{k_{i}}}
几乎处处收敛,然后由
Cauchy 列的子列收敛蕴含原序列收敛 得到
f
k
{\displaystyle f_k}
几乎处处收敛。
稠密性 [ ]
我们知道,简单函数在
L
p
{\displaystyle L^p}
空间中是稠密的,下面的这个定理指出,当
q
<
+
∞
{\displaystyle q<+\infty }
时简单函数依然在
L
p
,
q
(
X
)
{\displaystyle L^{p,q}(X)}
中稠密。
假设
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
是
测度空间 ,
0
<
p
,
q
⩽
+
∞
{\displaystyle 0<p,q\leqslant +\infty }
,那么对任意
f
∈
L
p
,
q
(
X
)
{\displaystyle f\in L^{p,q}(X)}
总存在一列函数
{
f
k
}
{\displaystyle \{ f_k \}}
使得
lim
k
→
∞
‖
f
−
f
k
‖
p
,
q
=
0.
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|f-f_{k}\|_{p,q}=0.}
其中
f
k
(
x
)
=
∑
i
=
1
N
k
a
k
,
i
χ
E
k
,
i
(
x
)
.
{\displaystyle f_{k}(x)=\sum _{i=1}^{N_{k}}a_{k,i}\chi _{E_{k,i}}(x).}
其中
E
k
,
i
⊂
X
{\displaystyle E_{k,i}\subset X}
是有限测度的可测集且两两不交,对任意
k
∈
N
+
{\displaystyle k \in \N^+}
都有
a
k
,
1
>
a
k
,
2
>
⋯
a
k
,
N
k
>
0.
{\displaystyle a_{k,1}>a_{k,2}>\cdots a_{k,N_{k}}>0.}
记号
χ
E
k
,
i
{\displaystyle \chi _{E_{k,i}}}
表示集合
E
k
,
i
{\displaystyle E_{k,i}}
的
示性函数 。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
但是当
q
=
+
∞
{\displaystyle q=+\infty }
时情况就不同了,我们只能得到简单函数的可数线性组合(称为可数简单函数)是稠密的。
假设
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
是 σ有限的
测度空间 ,
0
<
p
⩽
+
∞
{\displaystyle 0<p\leqslant +\infty }
,那么对任意
f
∈
L
p
,
∞
(
X
)
{\displaystyle f\in L^{p,\infty }(X)}
总存在一列函数
{
f
k
}
{\displaystyle \{ f_k \}}
使得
lim
k
→
∞
‖
f
−
f
k
‖
p
,
∞
=
0.
{\displaystyle \lim _{k\to \infty }\|f-f_{k}\|_{p,\infty }=0.}
其中
f
k
(
x
)
=
∑
i
=
1
∞
a
k
,
i
χ
E
k
,
i
(
x
)
.
{\displaystyle f_{k}(x)=\sum _{i=1}^{\infty }a_{k,i}\chi _{E_{k,i}}(x).}
其中
E
k
,
i
⊂
X
{\displaystyle E_{k,i}\subset X}
是有限测度的可测集且两两不交。
证明参见弱 Lp 空间#稠密性 。
共轭空间 [ ]
下面我们假设
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
是 σ有限的非原子化测度空间 ,
L
p
,
q
(
X
)
{\displaystyle L^{p,q}(X)}
的对偶有下面的表格,其中
1
p
+
1
p
′
=
1
q
+
1
q
′
=
1.
{\displaystyle {\dfrac {1}{p}}+{\dfrac {1}{p'}}={\dfrac {1}{q}}+{\dfrac {1}{q'}}=1.}
0
<
p
<
1
{\displaystyle 0 < p < 1}
p
=
1
{\displaystyle p = 1}
1
<
p
<
+
∞
{\displaystyle 1 < p < +\infty}
p
=
+
∞
{\displaystyle p = +\infty}
0
<
q
⩽
1
{\displaystyle 0<q\leqslant 1}
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
L
∞
{\displaystyle L^\infty}
L
p
′
,
∞
{\displaystyle L^{p',\infty }}
全测度空间
1
<
q
<
+
∞
{\displaystyle 1<q<+\infty }
{
0
}
{\displaystyle \{0\}}
L
p
′
,
q
′
{\displaystyle L^{p',q'}}
q
=
+
∞
{\displaystyle q=+\infty }
非平凡(较复杂)
可赋范性 [ ]
假设
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
是测度空间,
p
,
q
∈
(
0
,
+
∞
]
{\displaystyle p,q\in (0,+\infty ]}
,那么
L
p
,
q
(
X
)
{\displaystyle L^{p,q}(X)}
可度量化,且当
p
>
1
,
q
⩾
1
{\displaystyle p>1,q\geqslant 1}
时可赋范化(
L
1
,
1
(
X
)
=
L
1
(
X
)
{\displaystyle L^{1,1}(X)=L^{1}(X)}
亦可赋范化)。
当
p
=
q
=
+
∞
{\displaystyle p=q=+\infty }
时,是
L
∞
{\displaystyle L^\infty}
,因此可赋范化,范数就是本性上确界范数。
当
p
=
+
∞
,
q
<
+
∞
{\displaystyle p=+\infty ,q<+\infty }
时
L
p
,
q
(
X
)
=
{
0
}
{\displaystyle L^{p,q}(X)=\{0\}}
,没有研究必要。
当
p
<
+
∞
,
q
=
+
∞
{\displaystyle p<+\infty ,q=+\infty }
时的证明详见弱 Lp 空间#可度量化空间 。
当
p
,
q
<
+
∞
{\displaystyle p,q<+\infty }
时的证明详见/可度量化空间 。
下面我们给出这个空间上的 Fatou 性质。
假设
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
是测度空间,
p
,
q
∈
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle p,q\in (0,+\infty )}
,非负可测函数序列
{
f
n
}
{\displaystyle \{ f_n \}}
,那么
‖
lim inf
n
→
∞
f
n
‖
p
,
q
⩽
lim inf
n
→
∞
‖
f
n
‖
p
,
q
.
{\displaystyle \|\liminf _{n\to \infty }f_{n}\|_{p,q}\leqslant \liminf _{n\to \infty }\|f_{n}\|_{p,q}.}
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
直接计算,
‖
lim inf
n
→
∞
f
n
‖
p
,
q
=
(
∫
0
+
∞
[
t
(
lim inf
n
→
∞
f
n
)
∗
(
t
)
p
]
q
p
d
t
t
)
1
q
⩽
(
∫
0
+
∞
[
t
lim inf
n
→
∞
f
n
∗
(
t
)
p
]
q
p
d
t
t
)
1
q
⩽
lim inf
n
→
∞
(
∫
0
+
∞
[
t
f
n
∗
(
t
)
p
]
q
p
d
t
t
)
1
q
=
lim inf
n
→
∞
‖
f
n
‖
p
,
q
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\|\liminf _{n\to \infty }f_{n}\|_{p,q}&=\left(\int _{0}^{+\infty }\left[t\left(\liminf _{n\to \infty }f_{n}\right)^{*}(t)^{p}\right]^{\frac {q}{p}}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}\\&\leqslant \left(\int _{0}^{+\infty }\left[t\liminf _{n\to \infty }f_{n}^{*}(t)^{p}\right]^{\frac {q}{p}}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}\\&\leqslant \liminf _{n\to \infty }\left(\int _{0}^{+\infty }\left[tf_{n}^{*}(t)^{p}\right]^{\frac {q}{p}}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}\\&=\liminf _{n\to \infty }\|f_{n}\|_{p,q}.\end{aligned}}}
两个不等式分别用到了
递减重排#性质 10以及
Fatou 引理 。
当
q
=
+
∞
{\displaystyle q=+\infty }
的时候也有类似的结果,但是差了一个常数,见弱 Lp 空间#Fatou 引理 。根据上面这一性质我们可以证明:强收敛蕴含模收敛,即:
假设
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X, \mathcal{F}, \mu)}
是测度空间,
p
,
q
∈
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle p,q\in (0,+\infty )}
,非负可测函数序列
‖
f
−
f
n
‖
p
,
q
→
0
{\displaystyle \|f-f_{n}\|_{p,q}\to 0}
,那么
‖
f
n
‖
p
,
q
→
‖
f
‖
p
,
q
.
{\displaystyle \|f_{n}\|_{p,q}\to \|f\|_{p,q}.}
参考资料 Loukas Grafakos, Classical Fourier Analysis , Springer New York, 2014-11, ISBN 978-1-4939-1193-6
. Rene Erlin Castillo, Humberto Rafeiro, An Introductory Course in Lebesgue Spaces , CMS Books in Mathematics, Springer Cham, 2016-07-06, ISBN 978-3-3193-0032-0
.