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Lorentz 空间是一类特殊的函数空间,它是 Lp 空间弱 Lp 空间的推广。

定义[]

假设有测度空间以及指标,给定复值可测函数,记它的分布函数递减重排,那么当如下的量

有限的时候我们就称可积的,收集所有上的可积函数全体记作,简记作,称为指标是的 Lorentz 空间,我们把其中几乎处处相等的函数视作同一个函数,因此连同构成一赋拟范数的线性空间

一般而言未必满足三角不等式,因此他可能不是范数,但是下面我们将指出的时候是可赋范化的。

基本性质[]

下面均假设出现的函数是测度空间上的复值可测函数,且指标(例如)均是属于的。
  1. 如果,那么这表明上的可积等价于绝对可积。
  2. 简单函数的积分:假设
    其中是有限测度的可测集且两两不交,记号表示集合示性函数,那么
    其中
  3. 分布函数#Lp 范数的分布表示的推广:当时成立
  4. 假设,那么存在常数使得意即这是的想法的自然延伸。

完备性[]

我们指出:Lorentz 空间是完备的,,因此我们仅需考察的情况。首先我们需要一个收敛性的结论:

假设测度空间可测函数列
  1. 拟范数收敛蕴含依测度收敛。
  2. 拟范数 Cauchy 蕴含依测度 Cauchy。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠

时,由上面的#基本性质的性质4得到

因此收敛蕴含收敛,我们下面证明当时的收敛性:给定存在使得当时成立
因此取得到
这就是依测度收敛的等价表述。

第二个结论是第一个结论的直接应用。

假设测度空间,那么关于拟范数完备。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠

任取按照拟范数 Cauchy 的可测函数列,由上面的性质这个序列是依测度的 Cauchy 列,由 Riesz 定理存在子列几乎处处收敛到一个几乎处处有限的可测函数。对任意固定的注意到

递减重排#性质10得到
进一步
用到了控制收敛定理Fatou 引理。然后令即可得到几乎处处收敛,然后由Cauchy 列的子列收敛蕴含原序列收敛得到几乎处处收敛。

稠密性[]

我们知道,简单函数在空间中是稠密的,下面的这个定理指出,当时简单函数依然在中稠密。

假设测度空间,那么对任意总存在一列函数使得其中其中是有限测度的可测集且两两不交,对任意都有记号表示集合示性函数
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠

不妨假设几乎处处非负,否则考察它的正部和负部,对每个固定的,我们可以找到非负简单函数满足:

  1. 对任意
  2. 对任意其中

我们有

于是当的时候成立因此对任意成立

控制收敛定理得到

但是当时情况就不同了,我们只能得到简单函数的可数线性组合(称为可数简单函数)是稠密的。

假设是 σ有限的测度空间,那么对任意总存在一列函数使得其中其中是有限测度的可测集且两两不交。

证明参见弱 Lp 空间#稠密性

共轭空间[]

下面我们假设是 σ有限的非原子化测度空间的对偶有下面的表格,其中

全测度空间
非平凡(较复杂)

可赋范性[]

假设是测度空间,,那么可度量化,且当时可赋范化(亦可赋范化)。

  1. 时,是,因此可赋范化,范数就是本性上确界范数。
  2. ,没有研究必要。
  3. 时的证明详见弱 Lp 空间#可度量化空间
  4. 时的证明详见/可度量化空间

Fatou 引理[]

下面我们给出这个空间上的 Fatou 性质。

假设是测度空间,,非负可测函数序列,那么
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠

直接计算,

两个不等式分别用到了递减重排#性质10以及 Fatou 引理

的时候也有类似的结果,但是差了一个常数,见弱 Lp 空间#Fatou 引理。根据上面这一性质我们可以证明:强收敛蕴含模收敛,即:

假设是测度空间,,非负可测函数序列,那么

参考资料

  1. Loukas Grafakos, Classical Fourier Analysis, Springer New York, 2014-11, ISBN 978-1-4939-1193-6.
  2. Rene Erlin Castillo, Humberto Rafeiro, An Introductory Course in Lebesgue Spaces, CMS Books in Mathematics, Springer Cham, 2016-07-06, ISBN 978-3-3193-0032-0.
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