Lipschitz 連續 (李普希茲連續)是一種特殊的一致連續,也是 Hölder 連續 的特殊情形。
定義 [ ]
整體連續 [ ]
設有定義在區域
S
⊂
R
n
{\displaystyle S \subset \R^n}
上的函數
f
:
S
→
R
m
{\displaystyle f: S \to \R^m}
,如果
∃
L
∈
R
{\displaystyle \exists L \in \mathbb{R}}
,
∀
x
1
,
x
2
∈
S
{\displaystyle \forall x_1, x_2 \in S}
都有
‖
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
‖
⩽
L
‖
x
1
−
x
2
‖
,
{\displaystyle \| f(x_1) - f(x_2) \| \leqslant L \|x_1 - x_2\|,}
那麼就稱這個函數
f
{\displaystyle f}
在區域
S
{\displaystyle S}
上 Lipschitz 連續,進一步定義它的 Lipschitz 模
Lip
(
f
)
:=
sup
{
‖
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
‖
‖
x
1
−
x
2
‖
:
x
1
,
x
2
∈
S
,
x
1
≠
x
2
}
.
{\displaystyle \text{Lip}(f) := \sup \left\{ \dfrac{\| f(x_1) - f(x_2) \|}{\| x_1 - x_2 \|}: x_1, x_2 \in S, x_1 \ne x_2 \right\}.}
一點局部連續 [ ]
定義在區域
S
⊂
R
n
{\displaystyle S \subset \R^n}
上的函數
f
:
S
→
R
m
{\displaystyle f: S \to \R^m}
,在點
x
0
∈
S
{\displaystyle x_0 \in S}
處對任意的
y
∈
U
(
x
0
)
{\displaystyle y \in U(x_0)}
如果存在僅與
x
{\displaystyle x}
有關的數
L
x
{\displaystyle L_x}
,滿足
‖
f
(
x
)
−
f
(
y
)
‖
⩽
L
x
‖
x
−
y
‖
{\displaystyle \| f(x) - f(y) \| \leqslant L_x \|x - y\|}
,且
y
{\displaystyle y}
在
x
{\displaystyle x}
的某個鄰域內一致有界,那麼就稱這個函數
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
x
0
{\displaystyle x_0}
處局部 Lipschitz 連續。
區域局部連續 [ ]
定義在區域
S
⊂
R
n
{\displaystyle S \subset \R^n}
上的函數
f
:
S
→
R
m
{\displaystyle f: S \to \R^m}
,如果對任意的緊集
K
⊂
S
{\displaystyle K \subset S}
都存在一個常數
L
K
{\displaystyle L_K}
使得
‖
f
(
x
1
)
−
f
(
x
2
)
‖
⩽
L
K
‖
x
1
−
x
2
‖
,
∀
x
1
,
x
2
∈
K
.
{\displaystyle \| f(x_1) - f(x_2) \| \leqslant L_K \|x_1 - x_2\|, \quad \forall x_1, x_2 \in K.}
我們就稱
f
{\displaystyle f}
在
S
{\displaystyle S}
上是局部 Lipschitz 連續的。
導數 [ ]
利用導函數判斷函數的 Lipschitz 連續性質:
設
S
⊂
R
n
{\displaystyle S \subset \R^n}
是開集 ,函數
f
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle f: \R^n \to \R^m}
在
S
¯
{\displaystyle \overline{S}}
上連續,在
S
{\displaystyle S}
上可微,若存在常數
L
>
0
{\displaystyle L>0}
,使得
∀
x
∈
S
,
‖
D
f
(
x
)
‖
⩽
L
{\displaystyle \forall x \in S, \| Df(x) \| \leqslant L}
,那麼函數
f
{\displaystyle f}
在
S
¯
{\displaystyle \overline{S}}
上 Lipschitz 連續。
Rademacher 指出了下面的結果:
R
m
{\displaystyle \R^m}
上局部 Lipschitz 連續的函數是幾乎處處
可微 的。
對於局部 Lipschitz 連續的函數則有下面的結果:
假設
f
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle f: \R^n \to \R^m}
是局部 Lipschitz 連續的,記其水平集
Z
f
:=
{
x
∈
R
n
:
f
(
x
)
=
0
}
{\displaystyle Z_f := \{ x \in \R^n: f(x) = 0 \}}
,那麼對幾乎處處的
x
∈
Z
f
{\displaystyle x \in Z_f}
成立
D
f
(
x
)
=
0.
{\displaystyle Df(x) = 0.}
假設
f
,
g
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle f, g: \R^n \to \R^n}
是局部 Lipschitz 連續的,記
Y
:=
{
x
∈
R
n
:
g
(
f
(
x
)
)
=
x
}
{\displaystyle Y := \{ x \in \R^n: g(f(x)) = x \}}
,那麼對幾乎處處的
x
∈
Y
{\displaystyle x \in Y}
成立
D
(
g
(
f
(
x
)
)
)
⋅
D
(
f
(
x
)
)
=
E
n
.
{\displaystyle D(g(f(x))) \cdot D(f(x)) = E_n.}
其中
E
n
{\displaystyle E_{n}}
是
n
{\displaystyle n}
階單位矩陣。
延拓定理 [ ]
假設
S
⊂
R
n
{\displaystyle S \subset \R^n}
且
f
:
S
→
R
m
{\displaystyle f: S \to \R^m}
是 Lipschitz 連續的,那麼存在一個 Lipschitz 連續函數
f
¯
:
R
n
→
R
m
{\displaystyle \overline{f}: \R^n \to \R^m}
使得
f
¯
|
S
=
f
.
{\displaystyle {\overline {f}}|_{S}=f.}
Lip
(
f
¯
)
=
Lip
(
f
)
.
{\displaystyle \text{Lip}(\overline{f}) = \text{Lip}(f).}
這個結果被稱為 Kirszbraun 定理。
如果對結論第二條稍加放寬:
Lip
(
f
¯
)
⩽
m
Lip
(
f
)
{\displaystyle {\text{Lip}}({\overline {f}})\leqslant {\sqrt {m}}{\text{Lip}}(f)}
的話,那麼可以簡單構造出一個符合要求的
f
¯
{\displaystyle \overline{f}}
如下
f
¯
(
x
)
:=
inf
z
∈
S
(
f
(
z
)
+
Lip
(
f
)
|
x
−
z
|
)
.
{\displaystyle {\overline {f}}(x):=\inf _{z\in S}{\Big (}f(z)+{\text{Lip}}(f)|x-z|{\Big )}.}
驗證過程是直接的計算,對固定的
x
∈
S
{\displaystyle x\in S}
,
一方面若取
z
=
x
{\displaystyle z=x}
得到
f
¯
(
x
)
⩽
f
(
x
)
{\displaystyle {\overline {f}}(x)\leqslant f(x)}
,
另一方面由 Lipschitz 連續性質得到對任意
z
∈
S
{\displaystyle z \in S}
都有
f
(
z
)
+
Lip
(
f
)
|
x
−
z
|
⩾
f
(
x
)
,
{\displaystyle f(z)+{\text{Lip}}(f)|x-z|\geqslant f(x),}
進而關於
z
∈
S
{\displaystyle z \in S}
取下確界就得到
f
¯
(
x
)
⩾
f
(
x
)
{\displaystyle {\overline {f}}(x)\geqslant f(x)}
。
常數的關係是通過三角不等式得到的,當
m
=
1
{\displaystyle m = 1}
時對任意的
x
,
y
∈
S
{\displaystyle x, y \in S}
我們有
f
¯
(
x
)
=
inf
z
∈
S
(
f
(
z
)
+
Lip
(
f
)
|
x
−
z
|
)
⩽
inf
z
∈
S
(
f
(
z
)
+
Lip
(
f
)
|
y
−
z
|
+
|
x
−
y
|
)
=
f
¯
(
y
)
+
Lip
(
f
)
|
x
−
y
|
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {f}}(x)&=\inf _{z\in S}{\Big (}f(z)+{\text{Lip}}(f)|x-z|{\Big )}\\&\leqslant \inf _{z\in S}{\Big (}f(z)+{\text{Lip}}(f)|y-z|+|x-y|{\Big )}\\&={\overline {f}}(y)+{\text{Lip}}(f)|x-y|.\end{aligned}}}
由
x
,
y
{\displaystyle x, y}
的對稱性得到另一個方向的不等式成立,進一步對映到
R
m
{\displaystyle \R^m}
的函數
f
(
x
)
=
(
f
1
(
x
)
,
f
2
(
x
)
,
⋯
,
f
m
(
x
)
)
{\displaystyle f(x)=(f^{1}(x),f^{2}(x),\cdots ,f^{m}(x))}
我們對其每個分量
f
j
(
x
)
{\displaystyle f^{j}(x)}
應用上述不等式,進而
|
f
¯
(
x
)
−
f
¯
(
y
)
|
⩽
∑
j
=
1
m
|
f
¯
j
(
x
)
−
f
¯
j
(
y
)
|
2
⩽
m
Lip
(
f
)
2
|
x
−
y
|
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|{\overline {f}}(x)-{\overline {f}}(y)|\leqslant \sum _{j=1}^{m}|{\overline {f}}^{j}(x)-{\overline {f}}^{j}(y)|^{2}\leqslant m{\text{Lip}}(f)^{2}|x-y|^{2}.\end{aligned}}}
Lipschitz 連續是絕對連續的特例。例如在一維情形,定義在區間
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上的實值函數
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
上 Lipschitz 連續若且唯若
∀
ε
>
0
,
∃
M
>
0
{\displaystyle \forall \varepsilon > 0, \exists M > 0}
使得對於
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a, b]}
中的任意有限個開區間
(
a
k
,
b
k
)
,
k
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle (a_k, b_k), k = 1, 2, \cdots, n}
滿足
∑
k
=
1
n
|
f
(
b
i
)
−
f
(
a
i
)
|
⩽
M
∑
k
=
1
n
(
b
k
−
a
k
)
+
ε
.
{\displaystyle \sum_{k=1}^n |f(b_i) - f(a_i)| \leqslant M \sum_{k=1}^n (b_k - a_k) + \varepsilon.}
參見 [ ]
參考資料 Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations(2nd Ed.) , GTM Vol.19 , American Mathematical Society, 2010-03, ISBN 978-0-8218-4974-3
. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.) , Studies in Advanced Mathematics Vol.5 , CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8
.