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Lipschitz 連續(李普希茲連續)是一種特殊的一致連續,也是 Hölder 連續的特殊情形。

定義[]

整體連續[]

設有定義在區域上的函數,如果 都有

那麼就稱這個函數在區域上 Lipschitz 連續,進一步定義它的 Lipschitz 模

一點局部連續[]

定義在區域上的函數,在點處對任意的如果存在僅與有關的數,滿足,且的某個鄰域內一致有界,那麼就稱這個函數處局部 Lipschitz 連續。

區域局部連續[]

定義在區域上的函數,如果對任意的緊集都存在一個常數使得

我們就稱上是局部 Lipschitz 連續的。

導數[]

利用導函數判斷函數的 Lipschitz 連續性質:
開集,函數上連續,在上可微,若存在常數,使得,那麼函數上 Lipschitz 連續。

Rademacher 指出了下面的結果:

上局部 Lipschitz 連續的函數是幾乎處處可微的。

對於局部 Lipschitz 連續的函數則有下面的結果:

  1. 假設是局部 Lipschitz 連續的,記其水平集,那麼對幾乎處處的成立
  2. 假設是局部 Lipschitz 連續的,記,那麼對幾乎處處的成立其中階單位矩陣。

延拓定理[]

假設是 Lipschitz 連續的,那麼存在一個 Lipschitz 連續函數使得

這個結果被稱為 Kirszbraun 定理。

如果對結論第二條稍加放寬:的話,那麼可以簡單構造出一個符合要求的如下

驗證過程是直接的計算,對固定的

  1. 一方面若取得到
  2. 另一方面由 Lipschitz 連續性質得到對任意都有
    進而關於取下確界就得到
  3. 常數的關係是通過三角不等式得到的,當時對任意的我們有
    的對稱性得到另一個方向的不等式成立,進一步對映到的函數我們對其每個分量應用上述不等式,進而

絕對連續函數[]

Lipschitz 連續是絕對連續的特例。例如在一維情形,定義在區間上的實值函數上 Lipschitz 連續若且唯若使得對於中的任意有限個開區間滿足

參見[]

參考資料

  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations(2nd Ed.), GTM Vol.19, American Mathematical Society, 2010-03, ISBN 978-0-8218-4974-3.
  2. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.), Studies in Advanced Mathematics Vol.5, CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8.
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