Lipschitz 连续

Lipschitz 连续（李普希兹连续）是一种特殊的一致连续，也是 Hölder 连续的特殊情形。

定义

整体连续

设有定义在区域$S \subset \R^n$上的函数$f: S \to \R^m$，如果$\exists L \in \mathbb{R}$，$\forall x_1, x_2 \in S$ 都有

$$\| f(x_1) - f(x_2) \| \leqslant L \|x_1 - x_2\|,$$

那么就称这个函数$f$在区域$S$上 Lipschitz 连续，进一步定义它的 Lipschitz 模

$$\text{Lip}(f) := \sup \left\{ \dfrac{\| f(x_1) - f(x_2) \|}{\| x_1 - x_2 \|}: x_1, x_2 \in S, x_1 \ne x_2 \right\}.$$

一点局部连续

定义在区域$S \subset \R^n$上的函数$f: S \to \R^m$，在点$x_0 \in S$处对任意的$y \in U(x_0)$如果存在仅与$x$有关的数$L_x$，满足$\| f(x) - f(y) \| \leqslant L_x \|x - y\|$，且$y$在$x$的某个邻域内一致有界，那么就称这个函数$f(x)$在$x_0$处局部 Lipschitz 连续。

区域局部连续

定义在区域$S \subset \R^n$上的函数$f: S \to \R^m$，如果对任意的紧集$K \subset S$都存在一个常数$L_K$使得

$$\| f(x_1) - f(x_2) \| \leqslant L_K \|x_1 - x_2\|, \quad \forall x_1, x_2 \in K.$$

我们就称$f$在$S$上是局部 Lipschitz 连续的。

导数

利用导函数判断函数的 Lipschitz 连续性质：
设$S \subset \R^n$是开集，函数$f: \R^n \to \R^m$在$\overline{S}$上连续，在$S$上可微，若存在常数$L>0$，使得$\forall x \in S, \| Df(x) \| \leqslant L$，那么函数$f$在$\overline{S}$上 Lipschitz 连续。

Rademacher 指出了下面的结果：

$\R^m$上局部 Lipschitz 连续的函数是几乎处处可微的。

对于局部 Lipschitz 连续的函数则有下面的结果：

1. 假设$f: \R^n \to \R^m$是局部 Lipschitz 连续的，记其水平集$Z_f := \{ x \in \R^n: f(x) = 0 \}$，那么对几乎处处的$x \in Z_f$成立$Df(x) = 0.$
2. 假设$f, g: \R^n \to \R^n$是局部 Lipschitz 连续的，记$Y := \{ x \in \R^n: g(f(x)) = x \}$，那么对几乎处处的$x \in Y$成立$D(g(f(x))) \cdot D(f(x)) = E_n.$其中$E_{n}$是$n$阶单位矩阵。

延拓定理

假设$S \subset \R^n$且$f: S \to \R^m$是 Lipschitz 连续的，那么存在一个 Lipschitz 连续函数$\overline{f}: \R^n \to \R^m$使得

1. ${\overline {f}}|_{S}=f.$
2. $\text{Lip}(\overline{f}) = \text{Lip}(f).$

这个结果被称为 Kirszbraun 定理。

如果对结论第二条稍加放宽：${\text{Lip}}({\overline {f}})\leqslant {\sqrt {m}}{\text{Lip}}(f)$的话，那么可以简单构造出一个符合要求的$\overline{f}$如下

$${\overline {f}}(x):=\inf _{z\in S}{\Big (}f(z)+{\text{Lip}}(f)|x-z|{\Big )}.$$

验证过程是直接的计算，对固定的$x\in S$，

1. 一方面若取$z=x$得到${\overline {f}}(x)\leqslant f(x)$，
2. 另一方面由 Lipschitz 连续性质得到对任意$z \in S$都有
   $$f(z)+{\text{Lip}}(f)|x-z|\geqslant f(x),$$
   进而关于$z \in S$取下确界就得到${\overline {f}}(x)\geqslant f(x)$。
3. 常数的关系是通过三角不等式得到的，当$m = 1$时对任意的$x, y \in S$我们有
   $${\begin{aligned}{\overline {f}}(x)&=\inf _{z\in S}{\Big (}f(z)+{\text{Lip}}(f)|x-z|{\Big )}\\&\leqslant \inf _{z\in S}{\Big (}f(z)+{\text{Lip}}(f)|y-z|+|x-y|{\Big )}\\&={\overline {f}}(y)+{\text{Lip}}(f)|x-y|.\end{aligned}}$$
   由$x, y$的对称性得到另一个方向的不等式成立，进一步对映到$\R^m$的函数$f(x)=(f^{1}(x),f^{2}(x),\cdots ,f^{m}(x))$我们对其每个分量$f^{j}(x)$应用上述不等式，进而
   $${\begin{aligned}|{\overline {f}}(x)-{\overline {f}}(y)|\leqslant \sum _{j=1}^{m}|{\overline {f}}^{j}(x)-{\overline {f}}^{j}(y)|^{2}\leqslant m{\text{Lip}}(f)^{2}|x-y|^{2}.\end{aligned}}$$

绝对连续函数

Lipschitz 连续是绝对连续的特例。例如在一维情形，定义在区间$[a, b]$上的实值函数$f(x)$在$[a, b]$上 Lipschitz 连续当且仅当$\forall \varepsilon > 0, \exists M > 0$使得对于$[a, b]$中的任意有限个开区间$(a_k, b_k), k = 1, 2, \cdots, n$满足

$$\sum_{k=1}^n |f(b_i) - f(a_i)| \leqslant M \sum_{k=1}^n (b_k - a_k) + \varepsilon.$$

参见

• 连续函数
• 一致连续
• Hölder 连续

参考资料

1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations(2nd Ed.), GTM Vol.19, American Mathematical Society, 2010-03, ISBN 978-0-8218-4974-3.
2. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.), Studies in Advanced Mathematics Vol.5, CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8.