Lipschitz 空間

Lipschitz 空間是一類特殊的函數空間，它是 Banach 空間，也是 Hölder 空間的特例。

概念

假設有定義在區間$[0,1]$上的一元函數$f(x)$，定義它的 Lipschitz 振幅為 $$\omega_\delta(f) = \sup \{ |f(x) - f(y)|: \forall x, y \in [0, 1], |x - y| < \delta \}.$$ 假設有常數$\alpha \in (0, 1]$，我們構造函數空間$\text{Lip } \alpha$為滿足如下條件 $$\| f \| := |f(0)| + \sup_{\delta > 0} \{ \delta^{-\alpha} \omega_\delta (f) \} < + \infty$$ 的全體$[0,1]$上的一元函數$f$構成，那麼可以驗證$\| \cdot \|$是範數且$\text{Lip } \alpha$是完備的賦范線性空間，即 Banach 空間。

子空間$\text{lip } \alpha$

上述空間$\text{Lip } \alpha$還有一個子空間 $$\text{lip } \alpha := \{ f \in \text{Lip } \alpha: \lim_{\delta \to 0^+} \delta^{-\alpha} \omega_\delta (f) = 0 \}$$ 且這個子空間是閉子空間。