Lipschitz 空间

Lipschitz 空间是一类特殊的函数空间，它是 Banach 空间，也是 Hölder 空间的特例。

概念

假设有定义在区间$[0,1]$上的一元函数$f(x)$，定义它的 Lipschitz 振幅为 $$\omega_\delta(f) = \sup \{ |f(x) - f(y)|: \forall x, y \in [0, 1], |x - y| < \delta \}.$$ 假设有常数$\alpha \in (0, 1]$，我们构造函数空间$\text{Lip } \alpha$为满足如下条件 $$\| f \| := |f(0)| + \sup_{\delta > 0} \{ \delta^{-\alpha} \omega_\delta (f) \} < + \infty$$ 的全体$[0,1]$上的一元函数$f$构成，那么可以验证$\| \cdot \|$是范数且$\text{Lip } \alpha$是完备的赋范线性空间，即 Banach 空间。

子空间$\text{lip } \alpha$

上述空间$\text{Lip } \alpha$还有一个子空间 $$\text{lip } \alpha := \{ f \in \text{Lip } \alpha: \lim_{\delta \to 0^+} \delta^{-\alpha} \omega_\delta (f) = 0 \}$$ 且这个子空间是闭子空间。