Liouville 定理

Liouville 定理（刘维尔定理）也称模有界定理，是复变函数论中推出的一个定理，利用它可以简洁地证明代数学基本定理。

内容

Liouville 定理定理的内容很简单但也很容易理解，它是说：

设函数$f(z)$在全复平面上解析，如果它是有界函数，则它必是常函数。

它的逆否命题是：在全复平面上非常数的解析函数必定无界。

推广

设$f(z)$是整函数，且$\limsup_{r \to +\infty} \dfrac{\displaystyle{\max_{|z| = r} |f(z)|}}{r^n} < +\infty$，那么$f(z)$是次数不高于$n$次的多项式。

调和函数

复变函数是一组共轭调和的二元调和函数，一般的调和函数也有这样的定理：

假设$u: \R^n \to \R$是有界调和函数，那么它是常函数。同样这个定理是对全空间上定义的函数来说的，局部定义的有界调和函数不一定是常函数。证明仅需用到导数的内估计：

$$|D^\alpha u(x_0)| \leqslant \dfrac{C_k}{r^{n+k}} \| u \|_{L^1 (B(x_0,r))}, \forall B(x_0, r) \subset U.$$

取$k = 1$得到

$$\begin{align} |D u(x_0)| & \leqslant \dfrac{C_1}{r^{n+1}} \| u \|_{L^1 (B(x_0,r))} \\ & = \dfrac{\overline{C_1}}{r} \max_{x \in \R^n} |u| \to 0 \quad (r \to +\infty). \end{align}$$

因此梯度为零，原函数是常数函数。

参见

• Cauchy 积分定理
• Cauchy 积分公式
• 代数学基本定理

参考资料

1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations(2nd Ed.), GTM Vol.19, American Mathematical Society, 2010-03, ISBN 978-0-8218-4974-3.

参考资料

1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations(2nd Ed.), GTM Vol.19, American Mathematical Society, 2010-03, ISBN 978-0-8218-4974-3.