Liouville 公式

在微分几何中，关于测地曲率有由第一基本形式决定的 Liouville 公式。

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假设正则曲面 $S: \boldsymbol{r}(u, v)$ 中， $u, v$ 是其正交参数，假设该曲面的第一基本形式为 $E\mathrm{d}u^2 + G\mathrm{d}v^2$ ，那么弧长参数曲线 $\boldsymbol{r}(u(s), v(s))$ 的测地曲率是 $\kappa_g = \dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s} - \dfrac{1}{2\sqrt{G}} \dfrac{\partial \ln E}{\partial v} \cos \theta + \dfrac{1}{2\sqrt{E}}\dfrac{\partial \ln G}{\partial u} \sin \theta.$ 其中， $\theta$ 是 $C$ 在 $P = \boldsymbol{r}(u(s_0), v(s_0))$ 处切线与 $S$ 上 $u-$ 曲线 $\boldsymbol{r}(u(s), v(s_0))$ 在 $P$ 处切线的夹角。

旋转面上一条纬线 $C$ 的测地曲率是常数，它是过 $C$ 上一点 $P$ 的经线的切线从 $P$ 到切线与旋转轴的交点的长度的倒数。

参考资料

彭家贵, 陈卿, 《微分几何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.

微分几何学（学科代码：1102745，GB/T 13745—2009）
曲线论	曲线 ▪ 参数曲线 ▪ 正则曲线 ▪ 弧长参数 ▪ 曲率 ▪ 挠率 ▪ Frenet 标架 ▪ 向量积 ▪ 曲线论基本定理 ▪ 混合积 ▪ 渐屈线 ▪ 四顶点定理 ▪ 旋转指数定理
曲面局部理论	曲面 ▪ 曲面的第一基本形式 ▪ 曲面的第二基本形式 ▪ 曲面的第三基本形式 ▪ 法曲率 ▪ 主曲率 ▪ Gauss 曲率 ▪ Dupin 标线 ▪ Weingarten 变换 ▪ Riemann 度量 ▪ Gauss 方程和 Codazzi 方程 ▪ 曲面的正交标架
曲面整体理论	Euler 示性数 ▪ Gauss-Bonnet 公式 ▪ 紧致曲面 ▪ 凸曲面 ▪ 完备曲面 ▪ 常 Gauss 曲率曲面（sine-Gordon 方程） ▪ Hilbert 定理 ▪ 常平均曲率曲面（Hopf 微分） ▪ 极小曲面 ▪ 稳定极小曲面
特殊类型曲面	直纹面（包括可展曲面，正螺面，切线面） ▪ 旋转面（包括柱面，锥面，伪球面，悬链面） ▪ 全脐点曲面
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