Lindeberg-Feller 定理

在概率论中，Lindeberg-Feller 定理是一种中心极限定理，它解决了相互独立的随机变量的分布求和向正态分布趋近的充要条件，是统计学正态总体分析的理论基础。

该问题指出：在怎么样的条件下许多小量之和的总体可以使用正态分布来估计。该问题先由 Lindeberg 提出充分条件，称为 Lindeberg 条件，后由 Feller 提出必要条件，称为 Feller 条件。

内容

假设随机变量$X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$相互独立，且它们的数学期望和方差有限，记 $$a_k = EX_k, \quad b_k^2 = DX_k, \quad B_k^2 = \sum_{i=1}^k b_i^2.$$ 那么将随机变量序列标准化和数 $$Y_k = \sum_{i=1}^k \dfrac{X_i - a_i}{B_k}.$$ 那么$Y_k$的分布函数趋近于正态分布函数，即 $$\lim_{n \to \infty} P \{ Y_n < x \} = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x \text{e}^{-\frac{t^2}{2}} \mathrm{d}t.$$ 以及 Feller 条件成立的充分必要条件是 Lindeberg 条件。

Lindeberg 条件

对任意的$\tau > 0$，成立 $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{B_n^2} \sum_{k=1}^n \int_{|x-a_k| > \tau B_n} (x - a_k)^2 \mathrm{d} F_k(x) = 0.$$ 它保证了和数中的项“充分地小”。

Feller 条件

如果如下条件满足 $$\lim_{n \to \infty} \max_{k \leqslant n} \dfrac{b_k}{B_n} = 0$$ 那么 Lindeberg 条件也将成为原论断成立的必要条件。上述条件等价于 $$\lim_{n \to \infty} B_n = \infty, \quad \lim_{n \to \infty} \dfrac{b_n}{B_n} = 0.$$ 简单理解起来就是“总和是可以忽略的大量分项之和”。

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.