Levi 積分定理

實變函數中，Levi 積分定理是一個關於非負可測函數列的積分問題的定理。在證明其它有關函數列極限運算時很常用。

內容

設有定義在$E$上的非負可測函數列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$滿足

$$f_1(x) \leqslant f_2(x) \leqslant \cdots \leqslant f_k(x) \leqslant \cdots, \forall x \in E.$$

且$\lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \text{a.e.} x \in E.$那麼

$$\lim_{k \to \infty} (L) \int_E f_k(x) \mathrm{d}x = (L) \int_E f(x) \mathrm{d}x.$$

即極限號可以和積分號交換次序。

使用它可以證明 Fatou 引理。

推論

使用它可以得出很多非負可測函數列積分的性質，如

（漸降列）設有定義在$E$上的非負可測函數列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$滿足

$$f_1(x) \geqslant f_2(x) \geqslant \cdots \geqslant f_k(x) \geqslant \cdots, \forall x \in E.$$

且$\lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \text{a.e.} x \in E.$那麼

$$\lim_{k \to \infty} (L) \int_E f_k(x) \mathrm{d}x = (L) \int_E f(x) \mathrm{d}x.$$

（積分區域可列可加性）設$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$是$E$上的非負可測函數列，那麼

$$(L) \int_E \sum_{k=1}^\infty f_k(x) \mathrm{d}x = \sum_{k=1}^\infty (L) \int_E f_k(x) \mathrm{d}x.$$

由此可以推得積分關於積分區域的可列可加性。

（積分區域的極限性質）設$\{ E_k \}_{k=1}^\infty$是單增的可測集合列，且$\lim_{k \to \infty} E_k = E$，$f(x)$是定義在$E_k$上的非負可測函數，那麼

$$\lim_{k \to \infty} (L) \int_{E_k} f(x) \mathrm{d}x = (L)\int_E f(x) \mathrm{d}x.$$

參考資料

1. 周民強, 《實變函數論（第三版）》, 北京大學出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.