Levi 积分定理

实变函数中，Levi 积分定理是一个关于非负可测函数列的积分问题的定理。在证明其它有关函数列极限运算时很常用。

内容

设有定义在$E$上的非负可测函数列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$满足

$$f_1(x) \leqslant f_2(x) \leqslant \cdots \leqslant f_k(x) \leqslant \cdots, \forall x \in E.$$

且$\lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \text{a.e.} x \in E.$那么

$$\lim_{k \to \infty} (L) \int_E f_k(x) \mathrm{d}x = (L) \int_E f(x) \mathrm{d}x.$$

即极限号可以和积分号交换次序。

使用它可以证明 Fatou 引理。

推论

使用它可以得出很多非负可测函数列积分的性质，如

（渐降列）设有定义在$E$上的非负可测函数列$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$满足

$$f_1(x) \geqslant f_2(x) \geqslant \cdots \geqslant f_k(x) \geqslant \cdots, \forall x \in E.$$

且$\lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \text{a.e.} x \in E.$那么

$$\lim_{k \to \infty} (L) \int_E f_k(x) \mathrm{d}x = (L) \int_E f(x) \mathrm{d}x.$$

（积分区域可列可加性）设$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty$是$E$上的非负可测函数列，那么

$$(L) \int_E \sum_{k=1}^\infty f_k(x) \mathrm{d}x = \sum_{k=1}^\infty (L) \int_E f_k(x) \mathrm{d}x.$$

由此可以推得积分关于积分区域的可列可加性。

（积分区域的极限性质）设$\{ E_k \}_{k=1}^\infty$是单增的可测集合列，且$\lim_{k \to \infty} E_k = E$，$f(x)$是定义在$E_k$上的非负可测函数，那么

$$\lim_{k \to \infty} (L) \int_{E_k} f(x) \mathrm{d}x = (L)\int_E f(x) \mathrm{d}x.$$

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.