Leibniz 法则

在数学中，有一个类似二项展开式的函数乘积的高阶导数公式，即莱布尼兹公式，它是说对于 $n$ 阶可导函数 $f(x), g(x)$，有 解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://mathoid-facade/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \big( f(x)g(x) \big)^{(n)} = \sum _{k=0}^n \dbinom{n}{k} f^{(k)} (x) \cdot g^{(n-k)} (x).}

证明

基本的证明思路由数学归纳法给出。

归纳奠基：当 $n=1$ 时，显然成立。
归纳假设：假设当 $n = m - 1 \geqslant 1$ 时成立，即有

$$\big( f(x)g(x) \big)^{(m-1)} = \sum _{k=0}^{m-1} \dbinom{m-1}{k} f^{(k)} (x) \cdot g^{(m-k-1)} (x).$$

归纳证明：当 $n = m$ 时
$\begin{align} \big( f(x)g(x) \big)^{(m)} & = \Big[ \big( f(x)g(x) \big)^{(m-1)} \Big]' \\ & = \left[ \sum _{k=0}^{m-1} \dbinom{m-1}{k} f^{(k)} (x) \cdot g^{(m-1-k)} (x) \right]' \\ & = \sum _{k=0}^{m-1} \dbinom{m-1}{k} \Big[ f^{(k)} (x) \cdot g^{(m-1-k)} (x) \Big]' \\ & = \sum _{k=0}^{m-1} \dbinom{m-1}{k} \Big[ f^{(k+1)} (x) \cdot g^{(m-1-k)} (x) + f^{(k)} (x) \cdot g^{(m-k)} (x) \Big] \\ & = \dbinom{m-1}{0} f^{(0)} (x) g^{(m)} (x) + \sum _{k=1}^{m-1} \left[ \dbinom{m-1}{k-1} + \dbinom{m-1}{k} \right] f^{(k)} (x) g^{(m-k)} (x) \\ & \quad + \dbinom{m-1}{m-1} f^{(n)} (x) g^{(0)} (x) \\ & = f^{(0)} (x) g^{(m)} (x) + \sum _{k=1}^{m-1} \dbinom{m}{k} f^{(k)} (x) g^{(m-k)} (x) + f^{(n)} (x) g^{(0)} (x) \\ & = \sum _{k=0}^m \dbinom{m}{k} f^{(k)} (x) \cdot g^{(m-k)} (x). \end{align}$
综上，我们就证明了高阶导数的莱布尼兹公式。

应用

用于求两个可导函数乘积的高阶导数。

另参见

• 导数
• 高阶导数

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.