Legendre 方程

在常微分方程理論中，Legendre 方程是如下二階線性常微分方程 $(1-z^2) w'' - 2z w' + \nu(\nu+1) w = 0$ 其中 $w$ 是關於 $z$ 的未知複變函數， $\nu$ 是復常數。上述方程被稱為 $\nu$ 次 Legendre 方程，它的解稱為 Legendre 函數。

解[]

上述方程是超幾何方程，當 $\nu$ 是非負整數時，該方程的解可以使用超幾何函數表示為 ${\displaystyle \begin{align} w_1 (z) &= C_1 F \! \left( \dfrac{ -n}{2}, \dfrac{n+1}{2}, \dfrac{1}{2}, z^2 \right), \\ w_2 (z) &= C_2 z F \! \left( \dfrac{1-n}{2}, \dfrac{1+n}{2}, \dfrac{3}{2}, z^2 \right). \end{align}}$ 上述兩個解中其中之一是多項式解，取最高次冪係數為 $\dfrac{(2n)!}{2^n n!}$ ，則該多項式稱為 Legendre 多項式，而另一非多項式解（含有對數項）稱為第二類 Legendre 函數。

連帶 Legendre 方程[]

下述方程稱為連帶 Legendre 方程 $(1-z^2) w'' - 2z w' + \left[ \nu(\nu+1) - \dfrac{\mu^2}{1-z^2} \right] w = 0$ Legendre 方程是 $\mu = 0$ 的特殊情形，上述方程的解稱為第一類連帶 Legendre 函數以及第二類連帶 Legendre 函數。

參考資料

王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函數概論》, 北京大學出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.

特殊函數論（學科代碼：1104170，GB/T 13745—2009）
特殊多項式	正交多項式 ▪ Bernoulli 多項式 ▪ Euler 多項式 ▪ Chebyshev 多項式 ▪ Legendre 多項式 ▪ Laguerre 多項式 ▪ Hermite 多項式
Euler 積分	Γ 函數 ▪ Euler 無窮乘積公式 ▪ Weierstrass 無窮乘積公式 ▪ 對數 Γ 函數 ▪ Dirichlet 積分 ▪ Β 函數 ▪ Riemann ζ 函數 ▪ Hermite 公式
超幾何函數	超幾何級數 ▪ 超幾何方程 ▪ Barnes 積分 ▪ Jacobi 多項式 ▪ Kummer 公式 ▪ 廣義超幾何函數
合流超幾何函數	Whittaker 方程 ▪ Whittaker 函數 ▪ 第二類 Whittaker 函數 ▪ Weber 方程 ▪ Hermite 函數
Legendre 函數	Legendre 方程 ▪ Rodrigues 公式 ▪ 第二類 Legendre 函數
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