在常微分方程理论中,Legendre 方程是如下二阶线性常微分方程
其中是关于的未知复变函数,是复常数。上述方程被称为次 Legendre 方程,它的解称为 Legendre 函数。
解[]
上述方程是超几何方程,当是非负整数时,该方程的解可以使用超几何函数表示为
上述两个解中其中之一是多项式解,取最高次幂系数为,则该多项式称为 Legendre 多项式,而另一非多项式解(含有对数项)称为第二类 Legendre 函数。
连带 Legendre 方程[]
下述方程称为连带 Legendre 方程
Legendre 方程是的特殊情形,上述方程的解称为第一类连带 Legendre 函数以及第二类连带 Legendre 函数。
参考资料
- 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN
978-7-3010-4530-5
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