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常微分方程理论中,Legendre 方程是如下二阶线性常微分方程

其中是关于的未知复变函数是复常数。上述方程被称为次 Legendre 方程,它的解称为 Legendre 函数

[]

上述方程是超几何方程,当是非负整数时,该方程的解可以使用超几何函数表示为

上述两个解中其中之一是多项式解,取最高次幂系数为,则该多项式称为 Legendre 多项式,而另一非多项式解(含有对数项)称为第二类 Legendre 函数

连带 Legendre 方程[]

下述方程称为连带 Legendre 方程

Legendre 方程是的特殊情形,上述方程的解称为第一类连带 Legendre 函数以及第二类连带 Legendre 函数

参考资料

  1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.
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