Legendre 多项式

Legendre 多项式（勒让德多项式）是在对微分方程的研究中引入的一类特殊的函数。它是 Legendre 方程的多项式解。

定义

设$z \in \C$，我们称如下由多项式函数定义的高阶导数

$$P_n (z) = \dfrac{1}{2^n n!} \dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}z^n} (z^2-1)^n = \dfrac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{\left[ \frac{n}{2} \right]} \dfrac{(-1)^k (2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!} z^{n-2k}$$

为 Legendre 多项式。这种定义也称为 Rodrigues 公式。

它有如下积分表示

$$P_n (z) = \dfrac{1}{2\pi\text{i}} \int_C \dfrac{(\zeta^2-1)^n}{2^n (\zeta - z)^{n+1}} \mathrm{d}\zeta.$$

其中，$C$为简单闭曲线，$z$位于$C$的内部。被称为 Schlafli 公式。

此外可以使用母函数来定义 Legendre 多项式，这一想法最初是由 Legendre 在物理的势论中引入的：

$$\dfrac{1}{\sqrt{1-2zt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(z) t^n.$$

简单性质

1. $P_n$的所有$n$个根都落在$(-1, 1)$上；
2. $P_n$当$n$是奇数时是奇函数，当$n$是偶数时为偶函数；
3. 它有递推公式
   $$\begin{cases} P_1 (z) = z P_0 (z), \\ P_n (z) = \dfrac{2n-1}{n} P_{n-1} (z) - \dfrac{n-1}{n} P_{n-2} (z), \quad n > 1. \end{cases}$$
4. 导数关系：
   $$\begin{align} P'_{n+1} (z) & = z P_n (z) + (n+1) P_n (z), \\P'_{n+1} (z) - P'_{n-1} (z) & = (2n+1) P_n(z), \\(z^2 - 1) P'_n (z) & = nz P_n (z) - n P_{n-1} (z).\end{align}$$
5. 在实函数空间上，该多项式为标准内积积分$\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) \mathrm{d}x$的标准基函数（标准基底），且是完备的，因此一般的函数可以考虑 Legendre 展开。
6. 用超几何函数表示为
   $$P_n (z) = \dfrac{(2n)!}{2^n(n!)^2} z^n F\!\!\left( \dfrac{-n}{2}, \dfrac{1-n}{2}, \dfrac{1-2n}{2}, \dfrac{1}{z^2} \right).$$
   这一结果称为 Murphy 表达式。

Laplace 公式

如果令$C = \{ \zeta \in \C, |\zeta - z| = \sqrt{z^2-1}, z > 1 \}.$那么有

$$P_n (z) = \dfrac{1}{\pi} \int_0^\pi (z + \sqrt{z^2-1} \cos \theta)^n \mathrm{d}\theta.$$

以上积分公式是第一公式，还有如下第二公式

$$P_n (z) = \dfrac{1}{\pi} \int_0^\pi \dfrac{\mathrm{d}\theta}{(z + \sqrt{z^2-1} \cos \theta)^{n+1}}.$$

参考资料

1. 黄云清, 《数值计算方法》, 科学出版社, 北京, 2012-06, ISBN 978-7-0302-3428-5.