Lebesgue 積分

在實變函數中，Lebesgue 積分（勒貝格積分）是改進 Riemann 積分得到的一種積分，是實變函數理論的核心。Riemann 積分是通過劃分定義域得到的，而 Legesgue 積分則可以理解為是通過劃分值域得到的。定義一個函數的 Lebesgue 積分並不是十分直觀，儘管它將值域做了劃分，但由此帶來的問題是對每個值域的小分區，對應的定義域並不再是簡單的區間了，可能十分複雜，因此給這些小區域一種度量就導致了 Lebesgue 測度被預先定義。

我們這裏採用漸進的方式來定義 Lebesgue 積分，先對非負可測函數討論，詳見非負可測函數的積分，本頁面考慮一般函數的積分及其簡單性質。

有時我們為了和 Riemann 積分做區分，常在 Lebesgue 積分的積分號前加$(L)$，而在 Riemann 積分前加$(R).$關於 Lebesgue 積分的性質，詳見 Lebesgue 積分的性質。

從後面的定義和性質可以知道：Lebesgue 積分是定義在復向量空間$L^1(X, \mu)$上的線性泛函。

定義

設定義在$E \subseteq \R^n$上的可測函數$f(x)$分為

$$f(x) = f^+(x) - f^-(x), \forall x \in E.$$

這裏

$$f^+(x) = \begin{cases} f(x), & x \in \{ x \in E: f(x) \geqslant 0 \}, \\ 0, & x \in \{ x \in E: f(x) < 0 \}. \end{cases} \quad f^-(x) = \begin{cases} - f(x), & x \in \{ x \in E: f(x) \leqslant 0 \}, \\ 0, & x \in \{ x \in E: f(x) > 0 \}. \end{cases}$$

分別稱為函數$f(x)$在$E$上的正部和負部。這兩個函數都是非負可測函數，它們有 Lebesgue 積分，如果它們都是有限值時，我們就說函數$f(x)$在$E$上 Lebesgue 可積，且 Lebesgue 積分定義為

$$(L)\int_E f(x) \mathrm{d}x := (L)\int_E f^+(x) \mathrm{d}x - (L)\int_E f^-(x) \mathrm{d}x.$$

其中至少有一個是無窮時會導致廣義的積分，兩個都是無窮時減法無意義，$f(x)$不可積。

絕對可積

若$f(x)$是$E$上的可測函數，那麼可積和絕對可積等價，這僅需注意到

$$|f(x)| = f^+(x) + f^-(x).$$

且有

$$\left| (L)\int_E f(x) \mathrm{d}x \right| \leqslant (L)\int_E |f(x)| \mathrm{d}x.$$

絕對可積一般也稱可和（summable）。

與連續函數的關係

設函數$f(x)$是$E \subseteq \R^n$上的可積函數，那麼對任意的$\varepsilon > 0$總存在$\R^n$上的具有緊支集的連續函數$g(x)$使得

$$(L)\int_E |f(x) - g(x)| \mathrm{d}x < \varepsilon.$$

由此即得存在一個$\R^n$上具有緊支集的連續函數列$\{ g_k(x) \}_{k=1}^\infty$使得

$$\lim_{k \to \infty} (L)\int_E |f(x) - g_k(x)| \mathrm{d}x = 0.$$

由 Riesz 定理可得存在$\{ g_k(x) \}_{k=1}^\infty$的一個子列（因此還是具有緊支集的連續函數列）$\{ h_k(x) \}_{k=1}^\infty$

$$\lim_{k \to \infty} h_k(x) = f(x), \quad \text{a.e.} x \in E.$$

與 Riemann 積分的關係

一個有界函數在有界區間上如果 Riemann 可積，那麼必然 Lebesgue 可積，且積分值相同，但反之未必，如 Dirichlet 函數。因此，Lebesgue 積分的某些計算可以轉化為 Riemann 積分。

但是，對於藉助定積分極限定義的反常積分的情形，兩種積分不一定等價，Lebesgue 積分指的是絕對收斂的積分，即

設函數$f(x)$在遞增可測集列$\{ E_k \}_{k=1}^\infty$上可積，該集列的極限集是$E$，且有

$$\lim_{k \to \infty} (L)\int_{E_k} |f(x)| \mathrm{d}x < + \infty.$$

那麼$f(x)$在$E$上可積，且

$$(L)\int_E f(x) \mathrm{d}x = \lim_{k \to \infty} (L)\int_{E_k} f(x) \mathrm{d}x.$$

例如 Dirichlet 積分、Fresnel 積分都是 Lebesgue 積分不存在的反常積分。

一般的測度空間

假設有一測度空間$(X, \mathcal{F}, \mu)$及其上的可測函數$f: X \to \R$，同樣可以定義正部$f^+$和負部$f^-$，進而定義$f$在$E \in \mathcal{F}$上的積分

$$\int_E f \mathrm{d}\mu := \int_E f^+ \mathrm{d}\mu - \int_E f^- \mathrm{d}\mu.$$

其中至少有一個是無窮時會導致廣義的積分，兩個都是無窮時減法無意義，$f(x)$不可積。

如果$f: X \to \C$是復值的可測函數，我們說$f$在$E$上是可積的是指$\int_E |f| \mathrm{d}\mu < +\infty$，這等價於它的實部和虛部都可積，此時定義它的積分

$$\int_E f \mathrm{d}\mu := \int_E \text{Re }f \mathrm{d}\mu + \text{i} \int_E \text{Im } f \mathrm{d}\mu.$$

這個時候也有$\left| \int_E f \mathrm{d}\mu \right| \leqslant \int_E |f| \mathrm{d}\mu.$

$X$上全體可積的函數全體構成一個線性空間$L^1(X, \mu)$，且是 Banach 空間（詳見 $L^p$空間），且積分是這個賦范線性空間的連續線性泛函。

參考資料

1. 周民強, 《實變函數論（第三版）》, 北京大學出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.