Lebesgue 积分的性质

这里列举一些 Lebesgue 积分的主要性质。我们记$\R^n$上的可测集$E$的全体可测可积函数为$L(E).$以下所谈到的积分均是 Lebesgue 积分。

这些性质如果没有特别说明，对复函数以及一般的测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$（$E \in \mathcal{F}$）也是成立的。

线性性

设$f, g \in L(E), a, b \in \C$，则$af(x) + bg(x) \in L(E)$，且有

$$\int_E (af + bg) \mathrm{d}\mu = a \int_E f \mathrm{d}\mu + b \int_E g \mathrm{d}\mu.$$

这表明$L(E)$是一个线性空间。

几乎处处

假设$f, g \in L(E)$，那么

$$f = g, \text{a.e.} \iff \forall E \in \mathcal{F}, \int_E f \mathrm{d}\mu = \int_E g \mathrm{d}\mu.$$

这表明$L(E)$实际上是商去了一个几乎处处相等的等价关系后得到的商空间。

对积分区域的可列可加性

设$f(x)$在$E = \bigcup_{k=1}^\infty E_k$上可积，且$E_k$可测，$E_k \cap E_j = \varnothing, k,j \in \N^+.$那么

$$\int_E f \mathrm{d}\mu = \sum_{k=1}^\infty \int_{E_k} f \mathrm{d}\mu.$$

如果$f$具有合适的条件，$f \mathrm{d}\mu$将会决定一个新的测度，上面这个性质是测度的可列可加性必不可少的。

平移变换定理

设$f(x)\in L(E),x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}$，那么$f(x + x_0) \in L(E)$且

$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x+x_{0})\mathrm {d} x.$$

这个定理一定要在全空间上才有意义，且必须是 Lebesgue 测度。

控制收敛定理

设$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty \subset L(E)$且

1. $\lim_{k \to \infty} f_k (x) = f(x), \quad \text{a.e.} x \in E.$
2. $\exists F(x) \in L(E), |f_k (x)| \leqslant F(x), \quad \text{a.e.} x \in E.$

那么

$$\lim_{k \to \infty} \int_E |f_k (x) - f(x)| \mathrm{d}\mu = 0.$$

进而有

$$\lim_{k \to \infty} \int_E f_k (x) \mathrm{d}\mu = \int_E f(x) \mathrm{d}\mu.$$

这是 Lebesgue 积分的最重要结果，后面很多和交换运算交换次序的问题都可以用这个定理证明，Riemann 积分不具有这个性质。

绝对连续性

设$f(x) \in L^1(X)$，那么函数

$$g(y) := \int_X |f(x-y) - f(x)| \mathrm{d}\mu$$

在$X$上绝对连续，换言之，对任意的$\varepsilon > 0$存在$\delta > 0$，使得对任意满足$\mu(A) < \delta$的可测集$A$都成立

$$\left| \int_A f(x) \mathrm{d}\mu \right| \leqslant \int_A |f(x)| \mathrm{d}\mu < \varepsilon.$$

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

由 Lebesgue 积分的定义，对任意的$\varepsilon > 0$存在有限简单函数$g(x)=\sum _{i=1}^{N}g_{i}\chi _{A_{i}}(x)$使得

$$\int _{X}(|f|-g)\mathrm {d} \mu <{\dfrac {\varepsilon }{2}}.$$

令$G=\max _{1\leqslant i\leqslant n}g_{i}$，取$\delta ={\dfrac {\varepsilon }{2GN}}.$我们得到

$${\begin{aligned}\int _{A}|f|\mathrm {d} \mu &=\int _{A}(|f|-g)\mathrm {d} \mu +\int _{A}g\mathrm {d} \mu \\&\leqslant \int _{X}(|f|-g)\mathrm {d} \mu +\int _{A}g\mathrm {d} \mu \\&<{\dfrac {\varepsilon }{2}}+\sum _{i=1}^{N}g_{i}\mu (A\cap A_{i})\\&\leqslant {\dfrac {\varepsilon }{2}}+GN\mu (A)\\&\leqslant {\dfrac {\varepsilon }{2}}+GN\delta \\&\leqslant \varepsilon .\\\end{aligned}}$$

积分的绝对连续性可以允许我们对“差不多”的区域进行积分的估计，这个性质对 Riemann 积分也是对的。

Lebesgue 积分的绝对连续性将宣告不定积分是绝对连续函数。

稠密性和正交性

假设$U \subset \R^n$，那么$C_c^\infty(U)$在$L^1(U)$中稠密。

这个性质又是 Lebesgue 积分的一个重要结果，它可以推广到$L^p$空间上（$1 \leqslant p < +\infty$），它表明我们可以对光滑函数证明某些性质，然后利用稠密性将其推广到一般的函数上去，注意上述结论对$p = +\infty$未必成立。

假设$U \subset \R^n$，$f \in L^1(U)$，若对任意的$\varphi \in C_c^\infty(U)$都成立

$$\int_U f\varphi\mathrm{d}x = 0$$

那么$f$几乎处处为零。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

假设$\{ \varphi_k \} \subset C_c^\infty(U)$在$L^1(U)$中收敛到$f$，那么它是依测度收敛的，由 Riesz 引理可得其存在一个子列$\{ \varphi_{k_j} \}$在$U$上几乎处处收敛于$f$，于是由控制收敛定理可得

$$0 = \int_U f(x) \dfrac{\varphi_{k_j}(x)}{1+\varphi_{k_j}^2(x)} \mathrm{d}x \to \int_U \dfrac{f^2(x)}{1+f^2(x)} \mathrm{d}x.$$

于是就得到$f$在$U$上几乎处处为零。

上面这个结果可以推广到$L^1_\mathsf{loc}(U)$上去，这只需要将在每个$U$的紧子集上考虑即可，同时上述结果有一定的推广，例如变分法基本引理。

交换次序

（求和与极限交换）设$\{ f_k (x) \}_{k=1}^\infty \subset L(E)$，且

$$\sum_{k=1}^\infty \int_E |f_k (x)| \mathrm{d}x < +\infty.$$

则$\sum_{k=1}^\infty f_k(x)$在$E$上几乎处处收敛，且

$$\sum_{k=1}^\infty \int_E f_k(x) \mathrm{d}x = \int_E \sum_{k=1}^\infty f_k(x) \mathrm{d}x.$$

（求导与积分交换）设$f(x, y)$是定义在$E (\subset \R^n) \times (a, b)$上的可测函数，关于$x$在$E$上可积，关于$y$在$(a,b)$上可微，且

$$\exists F(x) \in L(E), \left| \dfrac{\partial}{\partial y} f(x, y) \right| \leqslant F(x), \quad \forall (x, y) \in E \times (a, b).$$

则

$$\dfrac{\partial}{\partial y} \int_E f(x, y) \mathrm{d}x = \int_E \dfrac{\partial}{\partial y} f(x, y) \mathrm{d}x, \quad \forall y \in (a, b).$$

上面的求导交换可以推广到一般的测度空间上。

设$f(x, y)$是定义在$E (\in \mathcal{F}) \times [a, b]$上的可测函数，$a, b$是有限实数，$f(\cdot, y): X \to \C$对每个$y \in [a, b]$都可积，令$F(y) = \int_E f(x, y) \mathrm{d}\mu(x)$。

1. 假设存在$g \in L(E)$使得$|f(x, y)| \leqslant g(x), \forall x \in E, y \in [a, b]$且$\lim_{y \to y_0} f(x, y) = f(x, y_0)$对每个$x \in E$一致成立，那么$\lim_{y \to y_0} F(y) = F(y_0).$进一步如果$f$关于$x$连续，那么$F$连续。
2. 假设$\dfrac{\partial f}{\partial y}$存在且

$$\exists g(x) \in L(E), \left| \dfrac{\partial}{\partial y} f(x, y) \right| \leqslant g(x), \quad \forall (x, y) \in E \times [a, b].$$

那么$F$可微且

$$\dfrac{\partial}{\partial y} \int_E f(x, y) \mathrm{d}x = \int_E \dfrac{\partial}{\partial y} f(x, y) \mathrm{d}\mu(x), \quad \forall y \in (a, b).$$

Jensen 不等式

设有$E \subseteq \R^n \text{ or } X$上的权函数（正值可积函数）$w(x)$满足$\int_E w(x) \mathrm{d}x = 1$，$\varphi(x)$是凸集$I$上的凸函数，$f(x)$在$E$上可积且它的值域是$I$的子集，那么当$f(x) w(x) \in L(E)$时有

$$\varphi \left( \int_E f(x) w(x) \mathrm{d}\mu(x) \right) \leqslant \int_E \varphi(f(x)) w(x) \mathrm{d}x.$$

$w(x) \mathrm{d}\mu(x)$可以视为一个新的测度，或者基于类似的想法可以定义出 Ap 权及相关的带权$L^p$空间。

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.