Lebesgue 积分

在实变函数中，Lebesgue 积分（勒贝格积分）是改进 Riemann 积分得到的一种积分，是实变函数理论的核心。Riemann 积分是通过划分定义域得到的，而 Legesgue 积分则可以理解为是通过划分值域得到的。定义一个函数的 Lebesgue 积分并不是十分直观，尽管它将值域做了划分，但由此带来的问题是对每个值域的小分区，对应的定义域并不再是简单的区间了，可能十分复杂，因此给这些小区域一种度量就导致了 Lebesgue 测度被预先定义。

我们这里采用渐进的方式来定义 Lebesgue 积分，先对非负可测函数讨论，详见非负可测函数的积分，本页面考虑一般函数的积分及其简单性质。

有时我们为了和 Riemann 积分做区分，常在 Lebesgue 积分的积分号前加$(L)$，而在 Riemann 积分前加$(R).$关于 Lebesgue 积分的性质，详见 Lebesgue 积分的性质。

从后面的定义和性质可以知道：Lebesgue 积分是定义在复向量空间$L^1(X, \mu)$上的线性泛函。

定义

设定义在$E \subseteq \R^n$上的可测函数$f(x)$分为

$$f(x) = f^+(x) - f^-(x), \forall x \in E.$$

这里

$$f^+(x) = \begin{cases} f(x), & x \in \{ x \in E: f(x) \geqslant 0 \}, \\ 0, & x \in \{ x \in E: f(x) < 0 \}. \end{cases} \quad f^-(x) = \begin{cases} - f(x), & x \in \{ x \in E: f(x) \leqslant 0 \}, \\ 0, & x \in \{ x \in E: f(x) > 0 \}. \end{cases}$$

分别称为函数$f(x)$在$E$上的正部和负部。这两个函数都是非负可测函数，它们有 Lebesgue 积分，如果它们都是有限值时，我们就说函数$f(x)$在$E$上 Lebesgue 可积，且 Lebesgue 积分定义为

$$(L)\int_E f(x) \mathrm{d}x := (L)\int_E f^+(x) \mathrm{d}x - (L)\int_E f^-(x) \mathrm{d}x.$$

其中至少有一个是无穷时会导致广义的积分，两个都是无穷时减法无意义，$f(x)$不可积。

绝对可积

若$f(x)$是$E$上的可测函数，那么可积和绝对可积等价，这仅需注意到

$$|f(x)| = f^+(x) + f^-(x).$$

且有

$$\left| (L)\int_E f(x) \mathrm{d}x \right| \leqslant (L)\int_E |f(x)| \mathrm{d}x.$$

绝对可积一般也称可和（summable）。

与连续函数的关系

设函数$f(x)$是$E \subseteq \R^n$上的可积函数，那么对任意的$\varepsilon > 0$总存在$\R^n$上的具有紧支集的连续函数$g(x)$使得

$$(L)\int_E |f(x) - g(x)| \mathrm{d}x < \varepsilon.$$

由此即得存在一个$\R^n$上具有紧支集的连续函数列$\{ g_k(x) \}_{k=1}^\infty$使得

$$\lim_{k \to \infty} (L)\int_E |f(x) - g_k(x)| \mathrm{d}x = 0.$$

由 Riesz 定理可得存在$\{ g_k(x) \}_{k=1}^\infty$的一个子列（因此还是具有紧支集的连续函数列）$\{ h_k(x) \}_{k=1}^\infty$

$$\lim_{k \to \infty} h_k(x) = f(x), \quad \text{a.e.} x \in E.$$

与 Riemann 积分的关系

一个有界函数在有界区间上如果 Riemann 可积，那么必然 Lebesgue 可积，且积分值相同，但反之未必，如 Dirichlet 函数。因此，Lebesgue 积分的某些计算可以转化为 Riemann 积分。

但是，对于借助定积分极限定义的反常积分的情形，两种积分不一定等价，Lebesgue 积分指的是绝对收敛的积分，即

设函数$f(x)$在递增可测集列$\{ E_k \}_{k=1}^\infty$上可积，该集列的极限集是$E$，且有

$$\lim_{k \to \infty} (L)\int_{E_k} |f(x)| \mathrm{d}x < + \infty.$$

那么$f(x)$在$E$上可积，且

$$(L)\int_E f(x) \mathrm{d}x = \lim_{k \to \infty} (L)\int_{E_k} f(x) \mathrm{d}x.$$

例如 Dirichlet 积分、Fresnel 积分都是 Lebesgue 积分不存在的反常积分。

一般的测度空间

假设有一测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$及其上的可测函数$f: X \to \R$，同样可以定义正部$f^+$和负部$f^-$，进而定义$f$在$E \in \mathcal{F}$上的积分

$$\int_E f \mathrm{d}\mu := \int_E f^+ \mathrm{d}\mu - \int_E f^- \mathrm{d}\mu.$$

其中至少有一个是无穷时会导致广义的积分，两个都是无穷时减法无意义，$f(x)$不可积。

如果$f: X \to \C$是复值的可测函数，我们说$f$在$E$上是可积的是指$\int_E |f| \mathrm{d}\mu < +\infty$，这等价于它的实部和虚部都可积，此时定义它的积分

$$\int_E f \mathrm{d}\mu := \int_E \text{Re }f \mathrm{d}\mu + \text{i} \int_E \text{Im } f \mathrm{d}\mu.$$

这个时候也有$\left| \int_E f \mathrm{d}\mu \right| \leqslant \int_E |f| \mathrm{d}\mu.$

$X$上全体可积的函数全体构成一个线性空间$L^1(X, \mu)$，且是 Banach 空间（详见 $L^p$空间），且积分是这个赋范线性空间的连续线性泛函。

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.