Lebesgue 测度

在测度论中，Lebesgue 测度是对 Lebesgue 外测度的定义不变、限制点集的类型而得到的一种测度，它可以视为是 Lebesgue 积分的一种特例。

可测集

可测集的 Caratheodory 定义是：设一点集$E \in \R^n$，若对任意的$T \in \R^n$，总成立

$$m^{*}(T)=m^{*}(T\cap E)+m^{*}(T\cap E^{c}),$$

则称$E$是可测集。其中，$m^*(T)$表示点集$T$的 Lebesgue 外测度，$E^c$表示$E$在$\R^n$中的补集。$T$常称为试验集（trivial set）。

上述定义等价于：对任意的$A \subseteq E, B \subseteq E^c$都有

$$m^*(A \cup B) = m^*(A) + m^*(B).$$

从这方面上讲，可测集满足的外测度性质是（有限）可加性（可以将上述推广到任意有限个集合上去），比一般集合满足的外测度的次可加性要好得多。

在应用定义式时，条件#A1可以减弱为

$$m^{*}(T)\geqslant m^{*}(T\cap E)+m^{*}(T\cap E^{c}),$$

这是因为外测度已经可以保证上述关系在小于等于时成立。

可测集类

有限维欧氏空间$\R^n$上的可测集的全体记作$\mathcal{M}$，它满足以下的基本性质：

1. $\varnothing \in \mathcal{M};$
2. 若$A \in \mathcal{M}$，则它的补集$\overline{A} \in \mathcal{M};$
3. 若$A_j \in \mathcal{M}, j = 1,2,\cdots$，则$\bigcup_{j=1}^\infty A_j \in \mathcal{M}.$

因此，可测集类$\mathcal{M}$构成一个 $\sigma$代数。

由此立刻得出可测集经过有限次并交补差运算后依然是可测集。尤其注意可测集中外测度为零的不一定是空集，因为零测集都是可测的。

测度

可测集$E$的外测度称为测度，记作$m(E).$除了在上一小节中介绍的代数性质，它还有如下运算（分析）性质：

（可列可加性）设有一列点集$\{ E_n \}_{n=1}^\infty \subset \mathcal{M}; E_i \cap E_j = \varnothing, \forall i \ne j, i, j \in \N^+$，那么

$$m\left( \bigcup_{n=1}^\infty E_n \right) = \sum_{n=1}^\infty m(E_n).$$

（单调集合列的极限性质）设有一单调递增（或递减）的集合列$\{ E_n \}_{n=1}^\infty \subset \mathcal{M}$，在递减时要求第一项的测度不是无穷，那么成立

$$m \left( \lim_{n \to \infty} E_n \right) = \lim_{n \to \infty} m(E_n).$$

（Fatou 引理）设有一可测集合列$\{ E_n \}_{n=1}^\infty \subset \mathcal{M}$，每一项的测度都不是无穷，那么有

$$\begin{align} m \left( \liminf_{n \to \infty} E_n \right) & \leqslant \liminf_{n \to \infty} m(E_n), \\ m \left( \limsup_{n \to \infty} E_n \right) & \geqslant \limsup_{n \to \infty} m(E_n). \end{align}$$

与Borel 集的关系

首先，Borel 集都是可测集。其次，可测集$E$和 Borel 集只相差一个零测集，这是说：

1. （$H$等测包）$E = H - Z_1$，其中$Z_1$是零测集，$H$是可数个开集的交集，是 Borel 集；
2. （$F$等测核）$E = F \cup Z_2$，其中$Z_2$是零测集，$F$是可数个闭集的并集，也是 Borel 集。

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.