Lebesgue 微分定理

Lebesgue 微分定理或 Lebesgue 定理，描述了 Lebesgue 積分意義下的不定積分（變限積分）與微分的關係。它是黎曼積分下不定積分的推廣。

內容

設函數$f(x)$在$[a, b]$上 Lebesgue 可積，那麼由

$$F(x) := (L)\int_a^x f(t) \mathrm{d}t$$

定義的函數$F(x)$幾乎處處可微，且滿足

$$F'(x) = f(x) \quad \text{a.e. } x \in [a, b].$$

由此可推得

$$\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \int_0^h |f(t+h) - f(t)| \mathrm{d}t = 0.$$

實際上，上述定義的變上限積分$F(x)$是絕對連續函數。

高維情形

以下的積分和可積性要求均是 Lebesgue 意義下的。假設$f: \R^n \to \R$是局部可積的，那麼有

1. 對於幾乎處處的$x_0 \in \R^n$成立
   $$\lim_{r \to 0} \dfrac{1}{m(B(x_0, r))} \int_{B(x_0, r)} f(x) \mathrm{d}x = f(x_0).$$
2. 進一步，對於幾乎處處的$x_0 \in \R^n$成立
   $$\lim_{r \to 0} \dfrac{1}{m(B(x_0, r))} \int_{B(x_0, r)} |f(x) - f(x_0)| \mathrm{d}x = 0.$$

滿足如上條件的$x_0$稱為 Lebesgue 點。此外如果$f(x)$是局部$L^p$可積的，$1 \leqslant p < +\infty$，那麼成立對於幾乎處處的$x_0 \in \R^n$成立

$$\lim_{r \to 0} \dfrac{1}{m(B(x_0, r))} \int_{B(x_0, r)} |f(x) - f(x_0)|^p \mathrm{d}x = 0.$$

參考資料

1. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.), Studies in Advanced Mathematics Vol.5, CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8.