Lebesgue 微分定理

Lebesgue 微分定理或 Lebesgue 定理，描述了 Lebesgue 积分意义下的不定积分（变限积分）与微分的关系。它是黎曼积分下不定积分的推广。

内容

设函数$f(x)$在$[a, b]$上 Lebesgue 可积，那么由

$$F(x) := (L)\int_a^x f(t) \mathrm{d}t$$

定义的函数$F(x)$几乎处处可微，且满足

$$F'(x) = f(x) \quad \text{a.e. } x \in [a, b].$$

由此可推得

$$\lim_{h \to 0} \dfrac{1}{h} \int_0^h |f(t+h) - f(t)| \mathrm{d}t = 0.$$

实际上，上述定义的变上限积分$F(x)$是绝对连续函数。

高维情形

以下的积分和可积性要求均是 Lebesgue 意义下的。假设$f: \R^n \to \R$是局部可积的，那么有

1. 对于几乎处处的$x_0 \in \R^n$成立
   $$\lim_{r \to 0} \dfrac{1}{m(B(x_0, r))} \int_{B(x_0, r)} f(x) \mathrm{d}x = f(x_0).$$
2. 进一步，对于几乎处处的$x_0 \in \R^n$成立
   $$\lim_{r \to 0} \dfrac{1}{m(B(x_0, r))} \int_{B(x_0, r)} |f(x) - f(x_0)| \mathrm{d}x = 0.$$

满足如上条件的$x_0$称为 Lebesgue 点。此外如果$f(x)$是局部$L^p$可积的，$1 \leqslant p < +\infty$，那么成立对于几乎处处的$x_0 \in \R^n$成立

$$\lim_{r \to 0} \dfrac{1}{m(B(x_0, r))} \int_{B(x_0, r)} |f(x) - f(x_0)|^p \mathrm{d}x = 0.$$

参考资料

1. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.), Studies in Advanced Mathematics Vol.5, CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8.