Lebesgue 外测度

在实变函数论中，有限维 Euclid 空间中点集的Lebesgue 外测度是度量某种“面积”的概念，它是对 Jordan 外测度有限情形的无限推广。在外测度的基础上对集合作限制可定义Lebesgue 测度。

定义[]

设点集 $E \subseteq \R^n$ ， $\{ I_k \}_{k=1}^\infty$ 是一列开矩体，定义

m^*(E) = \inf \left\{ \sum_{k=1}^\infty |I_k| : E \subseteq \bigcup_{k=1}^\infty I_k \right\}

是

E

的外测度。其中

\{ I_k \}_{k=1}^\infty

称为

E

的一个 L-覆盖。

由下确界的定义，上述条件可表述为：对任意的 $\varepsilon > 0$ ，存在一个 L-覆盖 $\{ I_k \}_{k=1}^\infty$ 使得

\sum_{k=1}^\infty |I_k| < m^*(E) + \varepsilon.

非负性： $m^*(E) \geqslant 0, m^*(\varnothing) = 0.$
单调性：若 $E_1 \subseteq E_2$ ，那么 $m^*(E_1) \leqslant m^*(E_2).$
次可加性： $m^* \left( \bigcup_{k=1}^\infty E_k \right) \leqslant \sum_{k=1}^\infty m^*(E_k).$

外测度为零的点集不一定是空集，在次可加性中就算要求有限个集合作运算且彼此不交也不一定保证等号取到。

此外还有下性质

可列集的外测度为零，特例是 $m^*(\Q) = 0.$
若点集 $E_1, E_2$ 满足 $d(E_1, E_2) > 0$ ，那么 $m^*(E_1 \cup E_2) = m^*(E_1) + m^*(E_2).$
平移不变性：记 $E + \{ x_0 \}$ 表示将 $E$ 中的所有点按照向量 $x_0$ 的加法运算平移，那么 $m^*(E+\{x_0\}) = m^*(E).$
伸缩特性：记 $\lambda E$ 表示将 $E$ 中的所有点按照向量的数乘 $\lambda$ 的运算进行伸缩，那么 $m^*(\lambda E) = |\lambda| m^*(E).$

设 $E \subset \R^n$ ，另有集合 $H \supset E \supset F$ ，且满足 $m^*(H) = m^*(E) = m^*(F)$ ，我们就称 $H, F$ 分别为 $E$ 的等测包和等测核。集合 $E$ 和它的等测包以及等测核之间只差一个零测集。

以下定理也常称作外测度的正则性：点集 $E$ 有一个等测包 $H$ ，该集合 $H$ 是可数个开集的交集。

实变函数论（学科代码：1104110，GB/T 13745—2009）
预备知识	集合序列 ▪ 集合的势以及基数 ▪ σ-代数 ▪ Borel 集 ▪ 稠密集 ▪ Baire 定理 ▪ Cantor 三分集 ▪ 连续延拓定理
Lebesgue 测度	Jordan 测度 ▪ Lebesgue 外测度 ▪ Lebesgue 测度 ▪ 正测度集 ▪ 不可测集
可测函数	可测函数 ▪ 可测函数列 ▪ Lusin 定理 ▪ 几乎处处
Lebesgue 积分	非负可测函数的积分 ▪ Lebesgue 积分 ▪ Levi 积分定理 ▪ Fatou 引理 ▪ 控制收敛定理 ▪ Fubini 定理 ▪ Lebesgue 积分的性质 ▪ 卷积 ▪ 分布函数 ▪ Lp 空间
Lebesgue 微分	Vitali 覆盖定理 ▪ Dini 导数 ▪ 有界变差函数 ▪ Lebesgue 微分定理 ▪ 绝对连续函数
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