Lebesgue 分解

在测度论中，一般的两个符号测度之间不一定可以定义 R-N 导数，但是它们之间依然可以存在某种关系，Lebesgue 分解指出σ有限的符号测度对另一个σ有限的符号测度可以分解为绝对连续的部分和相互奇异的部分。

相关概念

假设$\varphi$是测度空间$(X, \mathcal{F}, \mu)$上的符号测度，如果 $$\mu(A) = 0 \Longrightarrow \varphi(A) = 0.$$ 我们就称$\varphi$是对$\mu$绝对连续的，记作$\varphi \ll \mu$。显然$\varphi \ll \mu$当且仅当全变差$|\varphi| \ll \mu.$

与之相对的概念是奇异性：假设有可测空间$(X, \mathcal{F})$上的两个符号测度$\varphi, \psi$，如果存在$N \subset \mathcal{F}$使得$|\varphi|(N^c) = |\psi|(N) = 0$，我们就称$\varphi$和$\psi$是相互奇异的，记作$\varphi \perp \psi.$

假设有可测空间$(X, \mathcal{F})$上的实值测度$\mu$以及复测度$\nu$，$\nu$对$\mu$绝对连续定义为$\nu_r, \nu_i$对$\mu$绝对连续。$\nu$和$\mu$相互奇异定义为$\nu_a \perp \mu_b, a,b = r, i.$这里我们记 $${\begin{aligned}\nu _{r}:{\mathcal {F}}&\to \mathbb {R} ,\\E&\mapsto {\text{Re }}\nu (E),\end{aligned}}\quad {\begin{aligned}\nu _{i}:{\mathcal {F}}&\to \mathbb {R} ,\\E&\mapsto {\text{Im }}\nu (E),\end{aligned}}$$ 分别称为$\nu$的实部和虚部。

符号测度情形

假设有可测空间$(X, \mathcal{F})$上的两个符号测度$\varphi, \psi$，如果存在$N \subset \mathcal{F}$使得$|\varphi|(N^c) = |\psi|(N) = 0$，我们就称$\varphi$和$\psi$是相互奇异的，记作$\varphi \perp \psi.$

对可测空间$(X, \mathcal{F})$上的两个σ有限的符号测度$\varphi, \psi$，存在两个σ有限的符号测度$\varphi_c, \varphi_s$使得

1. $\varphi = \varphi_c + \varphi_s.$
2. $\varphi_c$对$\psi$绝对连续。
3. $\varphi_s$和$\psi$相互奇异。

且这种分解是唯一的。

这个定理可用来解释概率论中随机变量是离散型、连续型和奇异型变量的混合。

复测度情形

一般的两个复测度之间不一定可以定义导数，但是它们之间依然可以存在某种关系，Lebesgue 分解指出复测度对另一个复测度可以分解为绝对连续的部分和相互奇异的部分。

可测空间$(X, \mathcal{F})$上的两个复测度$\nu, \mu$，存在两个复测度$\nu_c, \nu_s$使得

1. $\nu = \nu_c + \nu_s.$
2. $\nu_c$对$\mu$绝对连续。
3. $\nu_s$和$\mu$相互奇异。

且这种分解是唯一的。

参考资料

1. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.), Studies in Advanced Mathematics Vol.5, CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8.