Lebesgue-Stieltjes 测度

Lebesgue-Stieltjes 测度是 Lebesgue 测度向 Jordan 测度靠近的一种推广，它可为随机变量的测度论表达提供一种方式，是借助单调函数定义的一种完全可加测度。

定义

我们在$\R^n$中考察这样的测度。我们的基本想法是在$\R^n$中一类特殊的集合系——半环${\mathcal {D}}_{\mathbb {R} ^{n}}$上建立测度，然后让它生成$\R^n$中集合的外测度$\mu _{F}$，最后这个外测度限制在一个$\sigma$代数上就构成测度，称为 Lebesgue-Stieltjes 测度。

半环

令$a=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}),b=(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$，定义$\R^n$中点的偏序关系$$a\leqslant b\iff a_{i}\leqslant b_{i},\quad \forall i=1,2,\cdots ,n.$$ 同样可以定义$a<b,a>b,a\geqslant b.$

我们称$$(a,b]:=\prod _{i=1}^{n}(a_{i},b_{i}]$$ 为$\R^n$中的半开半闭矩体/区间。于是可以验证所有$\R^n$上的半开半闭区间构成$\R^n$上的一个半环，记作${\mathcal {D}}_{\mathbb {R} ^{n}}$。

准分布函数

假设定义在$\R^n$上的实值函数$F$满足：

1. 对任意$x_{1},\cdots ,x_{i-1},x_{i+1},x_{n}\in \mathbb {R}$，$x_{i}\mapsto F(x_{1},\cdots ,x_{n})$都是右连续的。
2. $n$次增量$\Delta _{(a,b]}^{n}F\geqslant 0.$

我们就称$F$是准分布函数。

其中增量$\Delta _{(a,b]}^{n}F$按递归方式定义：

1. 对一元函数而言，$\Delta _{(a,b]}^{1}F=F(b)-F(a).$
2. 对$n$元函数而言，$\Delta _{(a,b]}^{n}F=\Delta _{(a_{n},b_{n}]}^{1}(\Delta _{({\tilde {a}}_{n},{\tilde {b}}_{n}]}^{n-1}F).$其中$({\tilde {a}}_{n},{\tilde {b}}_{n}]=\prod _{i=1}^{n-1}(a_{i},b_{i}]$

增量非负的条件衡量的就是多元函数的单调不减性质，在我们定义的$\R^n$中偏序的意义下。

容易看到，如果准分布函数加上规范化条件：

1. $\lim _{a_{1},\cdots ,a_{n}\to -\infty }F(a_{1},\cdots ,a_{n})=0,$
2. $\lim _{a_{1},\cdots ,a_{n}\to +\infty }F(a_{1},\cdots ,a_{n})=1,$

之后，就和概率论中的分布函数一样了。

Lebesgue-Stieltjes 测度

假设$F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$是准分布函数且${\mathcal {D}}_{\mathbb {R} ^{n}}$是上述定义的#半环，那么${\mathcal {D}}_{\mathbb {R} ^{n}}$上的非负集函数 $$\mu _{F}((a,b]):=\Delta _{(a,b]}^{n}F\chi _{a<b}$$ 为${\mathcal {D}}_{\mathbb {R} ^{n}}$上的测度。

这个半环上的测度可以生成一个外测度$\lambda _{F}$，它限制在全体满足 Caratheodory 条件的集合${\mathcal {F}}_{\mu _{F}}$生成的 σ 代数上是测度，称为$n$维 Lebesgue-Stieltjes 测度$\mu _{F}$。

当$F(x)=x_{1}\cdots x_{n}$的时候，$\mu _{F}$就是通常的 Lebesgue 测度。

Lebesgue-Stieltjes 积分

假设$(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {F}}_{\mu _{F}},\mu _{F})$是测度空间，$\mu _{F}$是准分布函数$F$对应的 Lebesgue-Stieltjes 测度，那么根据测度论的经典方法可以定义 Lebesgue-Stieltjes 积分（和 Lebesgue 积分构造一样）。

由于$(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {F}}_{\mu _{F}},\mu _{F})$是完全测度空间，$\R^n$上的 Lebesgue-Stieltjes 积分具有和$\R^n$上的 Lebesgue 积分相似的性质。我们通常把 $$\int _{E}g(x)\mathrm {d} \mu _{F}(x)$$ 写为 $$\int _{E}g(x)\mathrm {d} F(x).$$ 其中$E$是 Lebesgue-Stieltjes 可测集。

参考资料

1. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.
2. 夏道行, 吴卓人, 严绍宗, 舒五昌, 《实变函数论与泛函分析（上册）（第二版修订本）》, 高等教育出版社, 2010-01, ISBN 978-7-0402-7431-8.