Lax-Milgram 定理

Lax-Milgram 定理是 Hilbert 空间上的算子理论中的一个基本定理，它在偏微分方程弱解的存在性问题以及概率空间里有相当多的应用。这个定理在很多场合下用于研究非对称算子的方程，而在对称算子情形下，这个结论就是 Hilbert 空间上的等价的内积。

内容

假设$X$是 Hilbert 空间，$a(x, y)$是其上的共轭双线性函数，且满足：

1. （有界性）$\exists M > 0, \forall x, y \in X, |a(x, y)| \leqslant M \| x \| \| y \|.$
2. （强制性）$\exists \delta > 0, \forall x \in X, |a(x, x)| \geqslant \delta \| x \|^2.$

那么

1. 存在唯一的$X$上的连续线性算子$A$使得$$a(x, y) = (x, Ay), \quad \forall x, y \in X.$$
2. 上述定义的算子$A$有逆，且逆也是连续的，$$\| A^{-1} \| \leqslant \delta^{-1}.$$
3. $\forall f\in X^{*},\exists !y_{f}\in X$使得$$\langle f,x\rangle _{X^{*},X}=a(x,y_{f}),\quad \forall x\in X.$$且$y_f$连续依赖于$f.$

有界性的要求其实很容易达到，例如，我们要求$a(x, y)$对每个变量都是连续的时候，有界性自然满足（参见双线性函数#赋范线性空间）。

另外注意：结论的第一条成立仅需要要求$a$的有界性就够了。

证明

1. 对任意的$y \in X$，$a(\cdot ,y)$是$X$上的连续线性泛函，由 Riesz 表示定理得到存在唯一的$z_{y}\in X$使得$$a(x,y)=(x,z_{y}),\quad \forall x\in X.$$定义映射$A:y\mapsto z_{y}$，即$$a(x, y) = (x, Ay), \quad \forall x, y \in X.$$
   1. $A$线性：对任意的$x \in X$我们有$${\begin{aligned}(x,A(k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2}))&=a(x,k_{1}y_{1}+k_{2}k_{2})\\&=k_{1}a(x,y_{1})+k_{2}a(x,y_{2})\\&=k_{1}(x,Ay_{1})+k_{2}(x,Ay_{2})\\&=(x,k_{1}Ay_{1}+k_{2}Ay_{2})\end{aligned}}$$于是$A(k_{1}y_{1}+k_{2}y_{2})=k_{1}Ay_{1}+k_{2}Ay_{2}.$
   2. $A$连续：$\|Ay\|=\sup _{\|x\|=1}|a(x,y)|\leqslant M\|y\|.$
2. $A$有连续逆：为了应用 Banach 逆算子定理，我们要证明$A$是$X$上的双射。
   1. $A$是单射：假设$y_1, y_2 \in X$满足$Ay_{1}=Ay_{2}$，那么对任意$x \in X$都有$$a(x,y_{1})=(x,Ay_{1})=(x,Ay_{2})=a(x,y_{2}).$$即$a(x,y_{1}-y_{2})=0.$我们只需要取$x=y_{1}-y_{2}$就有$y_1 = y_2.$
   2. $A$是满射：要证明$R(A)=X$，我们可以来证明$R(A)$闭，这样在$X$中就存在正交补空间，之后我们证明正交补空间平凡即可。
      1. $R(A)$闭：对任意$z\in {\overline {R(A)}}$存在$\{y_{n}\}\subset X$使得$Ay_{n}\to z\in X$，由强制性得到对任意的$m,n\in \mathbb {N} ^{+}$我们有$${\begin{aligned}\delta \|y_{m}-y_{n}\|^{2}&\leqslant |a(y_{m}-y_{n},y_{m}-y_{n})|\\&=|(y_{m}-y_{n},Ay_{m}-Ay_{n})|\\&\leqslant \|y_{m}-y_{n}\|\|Ay_{m}-Ay_{n}\|.\end{aligned}}$$于是$$\|y_{m}-y_{n}\|\leqslant \delta ^{-1}\|Ay_{m}-Ay_{n}\|.$$这就表明$\{ y_n \}$是$X$中的 Cauchy 列，于是存在$y \in X$使得$y_{n}\to y\in X$，由$A$的连续性得到$Ay=z$，于是$z\in R(A)$进而$R(A)$是闭的。
      2. $R(A)^{\perp }=\{0\}$：对任意$x\in R(A)^{\perp }$，我们有$$(x,Ay)=0=a(x,y),\quad \forall y\in X,$$特别地取$x = y$由$\delta \|x\|^{2}\leqslant |a(x,x)|=0$得到$x = 0.$
3. 第三条结论：对$f \in X^*$应用 Riesz 表示定理，可知存在唯一的$z_{f}\in X$使得$$\langle f,x\rangle =(x,z_{f}),\quad x\in X,$$解方程$Ay=z_{f}$得到存在唯一的$y_f$使得$$(x,z_{f})=(x,Ay_{f}),\quad \forall x\in X.$$于是$\langle f,x\rangle =(x,Ay_{f})=a(x,y_{f}),\quad \forall x\in X.$

   连续依赖性：$$|a(x,y_{f}-y_{g})|\leqslant |(x,y_{f}-y_{g})|\leqslant \|x\|\|A^{-1}z_{f}-A^{-1}z_{g}\|\leqslant \delta ^{-1}\|f-g\|\|x\|$$即得到连续依赖性（以及唯一性）。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.