Laplace 积分

在分析学中，Laplace 积分是一类应用广泛的无穷限积分。其求解方法主要有含参积分解微分方程法和留数理论

内容

设$a, b > 0$，那么 $$\int_0^{+\infty} \dfrac{\cos bx}{a^2 + x^2} \mathrm{d}x = \dfrac{\pi}{2a}\text{e}^{-ab},$$ 以及 $$\int_0^{+\infty} \dfrac{x \sin bx}{a^2 + x^2} \mathrm{d}x = \dfrac{\pi}{2}\text{e}^{-ab},$$ 以上两个积分都是收敛的。其值的求解在一般的数学分析或复分析书中都有介绍。

进而可求得 $$\int_0^{+\infty} \dfrac{\cos bx}{(a^2 + x^2)^2} \mathrm{d}x = \dfrac{(ab+1)\pi}{4a^3}\text{e}^{-ab},$$ 以及 $$\int_0^{+\infty} \dfrac{x \sin bx}{(a^2 + x^2)^2} \mathrm{d}x = \dfrac{b\pi}{4a}\text{e}^{-ab}.$$

相关公式

设$\Delta = b^2 - 4c < 0$，那么有 $$\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\cos x}{x^2 + bx + c} \mathrm{d}x = \dfrac{2\pi}{\sqrt{-\Delta}} \text{e}^{-\frac{\sqrt{-\Delta}}{2}} \cos \dfrac{b}{2},$$ 以及 $$\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{\sin x}{x^2 + bx + c} \mathrm{d}x = \dfrac{2\pi}{\sqrt{-\Delta}} \text{e}^{-\frac{\sqrt{-\Delta}}{2}} \sin \dfrac{b}{2}.$$

参见

• 无穷限积分
• Dirichlet 积分
• Euler 积分
• Poisson 积分
• Frullani 积分
• Fresnel 积分

参考资料

1. 崔尚斌, 《数学分析教程（下）》, 科学出版社, 北京, 2013-03, ISBN 978-7-0303-6807-2.