Laplace 方程

Laplace 方程（拉普拉斯方程）是一个最基本的二阶偏微分方程，也是为数不多有解析解的偏微分方程。

方程

假设一个多元函数$u(x)$定义在 Euclid 空间中的开区域$U \subset \R^n$上，且它是二阶可微连续到边界的，以下关于未知函数$u$的泛定方程

$$\Delta u := \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_k^2} (x) = 0$$

称为 Laplace 方程，它的解称为调和函数，算子$\Delta$称为 Laplace 算子。

基本解

上述方程在全空间上的解称为基本解。

可以证明上述方程是正交不变的，即对于一个正交矩阵$T \in \R^{n \times n}$，如果函数$u(x)$在$\R^n$上满足$\Delta u = 0$，那么$v(x) = Tu(x)$在$\R^n$上也满足$\Delta v = 0.$因此我们可以假设$u$是关于半径$r = |x|$的函数（径向函数）。并记$u(x) = v(r), r = |x|.$并注意到

$$\mathrm{d}r^2 = 2r\mathrm{d}r = \mathrm{d} \sum_{k=1}^n x_k^2 = 2\sum_{k=1}^n x_k \mathrm{d}x_k.$$

即

$$\dfrac{\partial r}{\partial x_k} = \dfrac{x_k}{r}.$$

因此

$$\begin{align} \dfrac{\partial u}{\partial x_k} & = \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} r} \dfrac{\partial r}{\partial x_k} = \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} r} \dfrac{x_k}{r}, \\ \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_k^2} & = \dfrac{\partial}{\partial x_k} \left( \dfrac{\mathrm{d} u}{\mathrm{d} r} \dfrac{x_k}{r} \right) = v''(r) \dfrac{x_k^2}{r^2} + v'(r) \left(\dfrac{1}{r} - \dfrac{x_k^2}{r^2} \right). \end{align}$$

因此

$$\Delta u = \sum_{k=1}^n \dfrac{\partial^2 u}{\partial x_k^2} = v''(r) + \dfrac{n-1}{r} v'(r) = 0.$$

这是一个关于$v'(r)$的一阶常微分方程，分离变量求得

$$v(r) = \begin{cases} C_1 \ln r + C_2, & n = 2, \\ \dfrac{C_1}{r^{n-2}} + C_2, & n > 2. \end{cases}$$

带回原变量即为原方程的通解，需要注意的是，这个解在原点是不连续的。

一般我们把基本解写作

$$\Phi(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2\pi} \ln |x|, & n = 2, \\ \dfrac{1}{n(n-2)\alpha(n)|x|^{n-2}}, & n > 2. \end{cases}$$

这里$\alpha(n)$是$n$维空间中单位球的测度。

基本解的导数有如下估计式

$$\left| D\Phi(x) \right| \leqslant \dfrac{C}{|x|^{n-1}}, \quad \left| D^2 \Phi(x) \right| \leqslant \dfrac{C}{|x|^n}, \quad |x| > 0.$$

其中$C$是实常数。

参考资料

1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations(2nd Ed.), GTM Vol.19, American Mathematical Society, 2010-03, ISBN 978-0-8218-4974-3.