Laplace 分布

在概率论中，Laplace 分布是一种连续型随机变量服从的概率分布，它和指数分布有密切联系，在误差分析中有重要作用，在量子力学中，Laplace 分布是一维 δ 势阱下偶宇称的波函数对应的概率密度函数。

模型

一些参数值下的 Laplace 分布概率密度图，这里μ=0.

设有连续型随机变量$X$，如果它的概率密度函数是 $$f(x)={\dfrac {1}{2\alpha }}{\text{e}}^{-{\frac {|x-\mu |}{\alpha }}}.$$ 其中常数$\mu \in \R, \alpha > 0$分别称为形状参数和尺度参数，我们就称随机变量$X$服从 Laplace 分布，记作$X \sim \text{La}(\mu, \alpha)$。

Laplace 分布的分布函数是 $$F(x)={\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {\operatorname {sgn}(x-\mu )}{2}}\left(1-{\text{e}}^{-{\frac {|x-\mu |}{\alpha }}}\right).$$ 函数#Eq1满足规范性 $$\lim_{x \to \infty} F(x) = 1.$$

导出

Laplace 分布可以由指数分布导出：假设相互独立的随机变量$X, Y$服从相同参数的指数分布，即$X, Y \sim \operatorname{Exp} (\dfrac{1}{\alpha})$，那么随机变量$X - Y \sim \operatorname{La} (0, \alpha)$

仅考虑$Z = X - Y > 0$的情形，$Z < 0$的情形同理可得。注意到$(X, -Y)$的联合概率密度函数为 $$f(x, y) = f_X(x) f_Y(y) = \dfrac{1}{\alpha}\text{e}^{-\frac{x+y}{\alpha}}.$$ 所以 $$\begin{align} F_z (z) & = P \{ Z < z \} = \int_0^{+\infty} \mathrm{d}y \int_0^{y+z} \dfrac{1}{\alpha}\text{e}^{-\frac{x+y}{\alpha}} \mathrm{d}x \\ & = \dfrac{1}{\alpha} \int_0^{+\infty} \text{e}^{-\frac{y}{\alpha}} \left( 1 - \text{e}^{-\frac{y+z}{\alpha}} \right) \mathrm{d}y \\ & = 1 - \dfrac{1}{2} \text{e}^{-\frac{z}{\alpha}}. \end{align}$$ 求导数，有 $$f_Z(z) = F'_Z(z) = \dfrac{1}{2\alpha} \text{e}^{-\frac{z}{\alpha}}, \qquad z \geqslant 0.$$ 同理 $$f_Z(z) = \dfrac{1}{2\alpha} \text{e}^{\frac{z}{\alpha}}, \qquad z < 0.$$ 因此随机变量$Z$服从 Laplace 分布。

数字特征

Laplace 分布#A1的数学期望和方差分别是$E(X) = \mu, D(X) = 2\alpha^2.$由于该分布的密度函数关于$x = \mu$对称，所以$E(X) = \mu.$对于方差 $$\begin{align} D(X) & = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - E(X))^2 \dfrac{1}{2\alpha} \text{e}^{-\frac{|x-\mu|}{\alpha}} \mathrm{d}x \\ & = \alpha^2 \int_{\mu}^{+\infty} \left( \dfrac{x-\mu}{\alpha} \right)^2 \text{e}^{-\left(\frac{x-\mu}{\alpha}\right)} \mathrm{d} \dfrac{x}{\alpha} \\ & \overset{t = \frac{x-\mu}{\alpha}}{=\!=\!=\!=} ~ \alpha^2 \int_0^{+\infty} t^2 \text{e}^{-t} \mathrm{d}t \\ & = \alpha^2 \Gamma(3) = 2\alpha^2. \end{align}$$ 它的特征函数是$\dfrac{\text{e}^{\text{i}\mu t}}{1+\alpha^2 t^2}.$

统计特性

充分完全统计量

含有参数$\alpha>0$的 Laplace 分布族$\text{La}(0, \alpha)$的一个充分完全统计量是$T = \sum_{i=1}^n |X_i|.$

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.