Lagrange 等式

Lagrange 等式是分析中的一个等式，可以利用它来证明 Cauchy-Schwarz 不等式。关于向量代数中的同名等式，详见 Lagrange 恒等式。

内容

设$\{ a_i\}_{i=1}^n, \{ b_i \}_{i=1}^n$是一列复数，那么成立如下等式

$$\left| \sum_{k=1}^n a_k b_k \right|^2 = \left( \sum_{k=1}^n |a_k|^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n |b_k|^2 \right) - \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} |a_i \overline{b_j} - a_j \overline{b_i}|^2.$$

因此由此立得

$$\left| \sum_{k=1}^n a_k b_k \right|^2 \leqslant \left( \sum_{k=1}^n |a_k|^2 \right) \left( \sum_{k=1}^n |b_k|^2 \right).$$

此即复数形式的 Cauchy 不等式。