Lagrange 中值定理

Lagrange 中值定理（常译拉格朗日中值定理）是微分学中值定理的等价定理之一，可以认为是 Rolle 定理更一般的情形。

内容

如果一个函数 $f(x)$ 连续于 $[a, b]$，可导于 $(a,b)$，则存在 $\xi \in (a, b)$，使得

$$f'(\xi) = \dfrac{f(b) - f(a)} {b - a}.$$

如果令 $\theta = \dfrac{\xi - a}{b - a}$，那么有 $\theta \in (0, 1)$ 且 $\xi = a + \theta (b - a)$，上式也可写作

$$f(b) - f(a) = f'(a+\theta(b-a)) (b-a).$$

这也被称为有限增量公式，其中 $a$ 和 $b$ 的大小关系不再重要。

证明

证明可用比例常数法或原函数法依托 Rolle 定理完成。

原函数法

令

$$F(x) = f(x) - f(a) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a), \quad x \in [a, b].$$

则 $F(x)$ 连续于 $[a, b]$，可导于 $(a,b)$，且 $F(a) = F(b) = 0.$
由 Rolle 定理，存在 $\xi \in (a, b)$，使得

$$F'(\xi) = \dfrac{F(b) - F(a)} {b - a} = 0.$$

于是

$$F'(\xi) = f'(\xi) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0.$$

进而存在 $\xi \in (a, b)$，使得

$$f'(\xi) = \dfrac{f(b) - f(a)} {b - a}.$$

比例常数法

令 $k = \dfrac{f(b) - f(a)} {b - a}$，构造辅助函数 $F(x) = f(x) - kx,~ x \in [a, b].$ 则 $F(x)$ 连续于 $[a, b]$，可导于 $(a,b)$，且

$$F(a) = f(a) - ka = f(b) - kb = F(b).$$

由 Rolle 定理，存在 $\xi \in (a, b)$，使得

$$F'(\xi) = \dfrac{F(b) - F(a)} {b - a} = 0.$$

于是

$$F'(\xi) = f'(\xi) - \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0.$$

进而存在 $\xi \in (a, b)$，使得

$$f'(\xi) = \dfrac{f(b) - f(a)} {b - a}.$$

推论

假设$f(x)\in C[a,b]\cap C^{1}(a,b)$，那么存在互不相同的点$\xi_i, i = 1,2,\cdots,n$使得

$$\prod_{i=1}^n f'(\xi_n) = \left[ \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} \right]^n.$$

应用

Lagrange 中值定理常用于证明一些不等式，例如下例：

1.（Lagrange 中值定理的应用）证明下列不等式：
(1). $| \sin x - \sin y | \leqslant | x - y |$
(2). $\dfrac{x} {1 + x} < \ln (1+x) < x \quad (x > 0)$
(3). $\dfrac{\arctan x} {1 + x} < \ln (1+x) < \arctan x \quad (0 < x < 1)$

提示：略

2.设 $x>0$，证明：

$$\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \dfrac{1}{2 \sqrt{x + \theta(x)}}, \quad \dfrac{1}{4} \leqslant \theta (x) \leqslant \dfrac{1}{2}$$

并且$\lim _{x \to 0} \theta (x) = \dfrac{1}{4},~\lim _{x \to + \infty} \theta (x) = \dfrac{1}{2}.$

3.设 $a, b > 0, p > 1$，证明

$$p b^{p-1} (a-b) \leqslant {(a-b)}^p \leqslant p a^{p-1} (a-b)$$

提示：Lagrange 中值定理。令 $f(x) = x^p$，$a = b$ 结论显然，如果 $a < b$，则 $\exists \xi \in (a, b), s.t. \dfrac{b^p - a^p}{b - a} = p \xi^{p-1} \in (p a^{p-1}, p b^{p-1})$，$a > b$ 同理。

这个不等式也可证明一些微分学结论，例如 Cauchy 中值定理，以及下面的例子：

4.设函数 $f(x)$ 连续于 $[a, b]$，可导于 $(a,b)$，证明：存在 $\xi \in (a, b)$，使得

$$f(a) + f(b) - 2f(\dfrac{a+b}{2}) = \dfrac{(b-a)^2} {4} f''(\xi).$$

提示：令 $F(x) = f(x + \dfrac{b-a}{2}) - f(x), x \in [a, \dfrac{a+b}{2}]$，应用Lagrange 中值定理，$\exists \eta \in (a, \dfrac{a+b}{2}), s.t. F(\dfrac{a+b}{2}) - F(a) = F'(\eta) \dfrac{b-a}{2} = \left( f'(\eta + \dfrac{b-a}{2}) - f(\eta)\right) \dfrac{b-a}{2}$，再对函数 $F(x)$ 应用Lagrange 中值定理。

5.设 $f(x)$ 在邻域 $U(x_0; \delta)$ 内连续，去心邻域 $U^\circ (x_0; \delta)$ 内可导，证明：

(1). 如果 $\lim _{x \to x_0^{-}} f'_{-} (x)$ 存在，那么 $f'_{-} (x_0) = \lim _{x \to x_0^{-}} f'_{-} (x)$；

(2). 如果 $\lim _{x \to x_0^{+}} f'_{+} (x)$ 存在，那么 $f'_{+} (x_0) = \lim _{x \to x_0^{+}} f'_{+} (x)$；

提示：Lagrange 中值定理以及导数的定义。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.