L' Hospital 法則

L' Hospital 法則（洛必達法則）是一個利用導數求解函數不定型極限的重要方法。

不定型極限

不定型極限也稱未定式它包括基本不定型$\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$以及其它不定型$0 \cdot \infty,~\infty - \infty,~1^{\infty},~\infty^0,~0^0$等。後面的其它不定型都可化為基本不定型。

L' Hospital 法則基本內容

以基本不定型$\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$為例。

定義在去心鄰域$U^\circ (x_0)$內可導函數$f(x), g(x)$，如果：

1. $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0$或$\lim_{x \to x_0}{|f(x)|} = \lim_{x \to x_0}{|g(x)|} = \infty$
2. $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} = A \in \bar{\mathbb{R}}$，且$g'(x) \ne 0$。

那麼 $$\lim_{x \to x_0}{\dfrac{f(x)}{g(x)}} = A.$$

這裏以極限過程$x \to x_0$為例，其它五種極限過程也有類似的結論。其它不定型極限可化為基本不定型極限，見這裏。

失效情形

該法則的條件一般是後驗的，即先嘗試對分子分母同時求導，再觀察極限是否存在，一般極限不存在時該法則就會失效，常見的有

1. 分子或分母含有有界量控制下的無窮小量，例如$\lim_{x \to 0} \dfrac{3x + 2\sin x}{5x - 3\cos x} = \dfrac{3}{5}.$
2. 分子分母的階數不會降低，常見於階數為無窮大的指數型比值極限，例如$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\text{e}^x - \text{e}^{-x}}{\text{e}^x + \text{e}^{-x}} = 1.$
3. 多次使用該法則會陷入死循環，上例即為一例，此外還有$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} = 1.$

此外如果分子分母求導後會變得越來越複雜，也不建議使用該法則，例如多層超越函數嵌套的類型。

複變函數

在複變函數論中，也有相應的 L' Hospital 法則的推廣，設一複變函數$f(z)$在$z_0$點解析，且滿足

1. $f(z_0) = g(z_0) = 0;$
2. $g'(z_0) \ne 0.$

那麼 $$\lim_{z \to z_0}{\dfrac{f(z)}{g(z)}} = \lim_{z \to z_0}{\dfrac{f'(z)}{g'(z)}}.$$ 複變函數中的這一推廣法則也可以連續使用，只要一直滿足條件一。