L' Hospital 法则(洛必达法则)是一个利用导数求解函数不定型极限的重要方法。
不定型极限[]
不定型极限也称未定式它包括基本不定型、以及其它不定型等。后面的其它不定型都可化为基本不定型。
L' Hospital 法则基本内容[]
以基本不定型、为例。
定义在去心邻域内可导函数,如果:
- 或
- ,且。
那么
这里以极限过程为例,其它五种极限过程也有类似的结论。其它不定型极限可化为基本不定型极限,见这里。
失效情形[]
该法则的条件一般是后验的,即先尝试对分子分母同时求导,再观察极限是否存在,一般极限不存在时该法则就会失效,常见的有
- 分子或分母含有有界量控制下的无穷小量,例如
- 分子分母的阶数不会降低,常见于阶数为无穷大的指数型比值极限,例如
- 多次使用该法则会陷入死循环,上例即为一例,此外还有
此外如果分子分母求导后会变得越来越复杂,也不建议使用该法则,例如多层超越函数嵌套的类型。
复变函数[]
在复变函数论中,也有相应的 L' Hospital 法则的推广,设一复变函数在点解析,且满足
那么
复变函数中的这一推广法则也可以连续使用,只要一直满足条件一。
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极限论 | 数列 ▪ 数列极限 ▪ 上极限和下极限 ▪ 无穷小量以及无穷大量 ▪ 两面夹法则 ▪ Stolz 定理 ▪ Toeplitz 定理 ▪ Stirling 公式 ▪ 函数极限 ▪ 第二重要极限 ▪ 不定型极限与 L' Hospital 法则 ▪ Heine 定理 |
一元连续性 | 连续函数 ▪ 间断点 ▪ 一致连续 ▪ Cantor 一致连续性定理 ▪ Lipschitz 连续和 Hölder 连续 ▪ 基本初等函数 ▪ 幂平均 |
一元微分 | 导数 ▪ 基本初等函数的导数 ▪ 求导法则 ▪ 高阶导数 ▪ 莱布尼兹公式(高阶导数) ▪ 微分以及差分 ▪ Darboux 定理 ▪ 零点定理 |
中值定理 微分的应用 |
Fermat 定理 ▪ Rolle 定理 ▪ Lagrange 中值定理 ▪ Cauchy 中值定理 ▪ Taylor 公式 ▪ 函数极值 ▪ 函数凸性 ▪ 渐近线 ▪ 曲线的曲率 |
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Euclid 空间点集 ▪ Euclid 空间中的基本定理 ▪ 多元函数 ▪ 多元函数的连续性 ▪ 偏导数 ▪ 全微分 ▪ 隐函数求导法 ▪ 方向导数 ▪ 多元 Taylor 展开 ▪ 多元函数的极值 ▪ 多元函数的条件极值与 Lagrange 乘数法 ▪ 隐函数 |
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