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L' Hospital 法则(洛必达法则)是一个利用导数求解函数不定型极限的重要方法。

不定型极限[]

不定型极限也称未定式它包括基本不定型以及其它不定型等。后面的其它不定型都可化为基本不定型。

L' Hospital 法则基本内容[]

以基本不定型为例。

定义在去心邻域内可导函数,如果:

  1. ,且

那么

这里以极限过程为例,其它五种极限过程也有类似的结论。其它不定型极限可化为基本不定型极限,见这里

失效情形[]

该法则的条件一般是后验的,即先尝试对分子分母同时求导,再观察极限是否存在,一般极限不存在时该法则就会失效,常见的有

  1. 分子或分母含有有界量控制下的无穷小量,例如
  2. 分子分母的阶数不会降低,常见于阶数为无穷大的指数型比值极限,例如
  3. 多次使用该法则会陷入死循环,上例即为一例,此外还有

此外如果分子分母求导后会变得越来越复杂,也不建议使用该法则,例如多层超越函数嵌套的类型。

复变函数[]

在复变函数论中,也有相应的 L' Hospital 法则的推广,设一复变函数解析,且满足

那么

复变函数中的这一推广法则也可以连续使用,只要一直满足条件一。

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