在泛函分析中，Kolmogorov 定理 是描述一个拓扑线性空间 可赋范化的等价定理，它表明：在一个拓扑线性空间的原点的凸邻域上定义的 Minkowski 泛函 决定了一个和原来空间上的拓扑等价的由范数诱导的拓扑。
内容 [ ] 假设
X
{\displaystyle X}
拓扑线性空间 ，那么
X
{\displaystyle X}
0
∈
X
{\displaystyle 0 \in X}
凸 的有界开邻域 。
证明 [ ] 我们只证明反过来的结论，假设
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
Minkowski 泛函
‖
x
‖
=
inf
{
λ
>
0
|
x
λ
∈
U
}
{\displaystyle \|x\|=\inf \left\{\lambda >0\left|{\dfrac {x}{\lambda }}\in U\right.\right\}}
‖
⋅
‖
{\displaystyle \| \cdot \|}
X
{\displaystyle X}
首先
‖
⋅
‖
{\displaystyle \| \cdot \|}
‖
⋅
‖
{\displaystyle \| \cdot \|}
其次证明
‖
⋅
‖
{\displaystyle \| \cdot \|}
‖
0
‖
=
0
{\displaystyle \|0\|=0}
x
≠
0
{\displaystyle x \neq 0}
n
0
∈
N
+
{\displaystyle n_0 \in \N^+}
x
∉
1
n
0
U
{\displaystyle x\notin {\dfrac {1}{n_{0}}}U}
n
∈
N
+
{\displaystyle n \in \mathbb{N}^+}
x
∈
1
n
U
{\displaystyle x\in {\dfrac {1}{n}}U}
n
x
∈
U
{\displaystyle nx\in U}
{
x
n
=
n
x
}
{\displaystyle \{x_{n}=nx\}}
1
n
x
n
→
0
{\displaystyle {\dfrac {1}{n}}x_{n}\to 0}
X
{\displaystyle X}
x
=
0
{\displaystyle x = 0}
‖
x
‖
>
1
n
0
>
0.
{\displaystyle \|x\|>{\dfrac {1}{n_{0}}}>0.}
三角不等式：Minkowski 泛函#基本性质 。
齐次性：Minkowski 泛函#基本性质 。
最后证明等价性，即证明对任意
X
{\displaystyle X}
V
{\displaystyle V}
B
(
0
,
ρ
)
=
{
x
∈
X
:
‖
x
‖
<
ρ
}
{\displaystyle B(0,\rho )=\{x\in X:\|x\|<\rho \}}
B
(
0
,
ρ
)
⊂
V
{\displaystyle B(0,\rho )\subset V}
B
(
0
,
ρ
)
=
{
x
∈
X
:
‖
x
‖
<
ρ
}
{\displaystyle B(0,\rho )=\{x\in X:\|x\|<\rho \}}
X
{\displaystyle X}
V
{\displaystyle V}
V
⊂
B
(
0
,
ρ
)
.
{\displaystyle V\subset B(0,\rho ).}
前者：由于
U
{\displaystyle U}
r
>
0
{\displaystyle r > 0}
r
U
⊂
V
{\displaystyle rU\subset V}
B
(
0
,
1
)
⊂
U
{\displaystyle B(0,1)\subset U}
B
(
0
,
r
)
⊂
r
U
⊂
V
.
{\displaystyle B(0,r)\subset rU\subset V.}
后者：对于给定的
B
(
0
,
ρ
)
{\displaystyle B(0,\rho )}
‖
⋅
‖
{\displaystyle \| \cdot \|}
ρ
′
<
ρ
{\displaystyle \rho '<\rho }
ρ
′
U
⊂
B
(
0
,
ρ
)
.
{\displaystyle \rho 'U\subset B(0,\rho ).}
参考资料 L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.) , International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4 
