Jordan 测度

Jordan 测度是和 Riemann 积分相关联的测度，换言之它是定义 Riemann 积分所需要的测度（类似于定义 Lebesgue 积分需要 Lebesgue 测度一样）。

集合测度

设点集$E \subseteq \R^n$，$\{ I_k \}_{k=1}^n$是一列开矩体，定义

$$m^\# E = \inf \left\{ \sum_{k=1}^n |I_k| : E \subseteq \bigcup_{k=1}^n I_k \right\}$$

是$E$的 Jordan 外测度。

假设同上，若$\{ I_k \}_{k=1}^n$两两不交，定义

$$m_\# E = \sup \left\{ \sum_{k=1}^n |I_k| : E \supseteq \bigcup_{k=1}^n I_k \right\}$$

是$E$的 Jordan 内测度。

当$m^\# E = m_\# E$时称$E$是 Jordan 可测的，$m^\# E$为$E$的 Jordan 测度，或称容度。

元积分

假设$\mathcal{E}(\R^n)$是$\R^n$上具有紧支集的有界阶梯函数全体，那么显然$\R^n$上具有紧支集的特征函数全体$\mathcal{A}(\R^n)$是$\mathcal{E}(\R^n)$的一个线性基底，这样我们可以定义$f(x) = \sum_{i=1}^k a_i \chi_{A_i}(x) \in \mathcal{\R^n}$的元积分（elementary integral）为

$$\int f \mathrm{d}x = \sum_{i=1}^k a_i m^\#(A_i).$$

关于元积分的更多性质及推广参见元积分。

伪度量空间

给定一个$\R^n$上具有紧支集的有界函数全体构成的线性空间记作$\mathcal{F}^\#(\R^n)$，定义$f \in \mathcal{F}^\#(\R^n)$的上积分（upper integral）和下积分（lower integral）分别为

$$\begin{align} \int^\# f \mathrm{d}x & = \inf_{\underset{\phi \geqslant f}{\overset{\phi \in \mathcal{E}(\R^n)}{}}} \int \phi \mathrm{d}x, \\ \int_\# f \mathrm{d}x & = \sup_{\underset{\phi \leqslant f}{\overset{\phi \in \mathcal{E}(\R^n)}{}}} \int \phi \mathrm{d}x. \end{align}$$

对任意的$f \in \mathcal{F}^\#(\R^n)$，我们定义泛函

$$\| f \|^\# := \int^\# |f| \mathrm{d}x.$$

其被称为 Jordan 容度（Jordan mean），注意它未必是范数，它诱导的二元函数

$$d^\#(f, g) = \| f - g \|^\#$$

是伪度量。

定义一个序列$\{ f_k \} \subset \mathcal{F}^\#(\R^n)$依 Jordan 容度收敛于$f$是指

$$\lim_{k \to \infty} \| f - f_k \|^\# = 0.$$

Jordan 容度有如下基本性质：

1. 正齐次性：$\forall k \geqslant 0, f \in \mathcal{F}^\#(\R^n), \| kf \|^\# = k \| f \|^\#.$
2. 三角不等式：$\forall f, g \in \mathcal{F}^\#(\R^n), \| f + g \|^\# \leqslant \| f \|^\# + \| g \|^\#.$
3. 单调性（正性）：$\forall f, g \in \mathcal{F}^\#(\R^n), f \leqslant g$蕴含$\| f \|^\# \leqslant \| g \|^\#.$
4. 绝对可积性：$\forall f \in \mathcal{E}(\R^n), \left| \int f \mathrm{d}x \right| \leqslant \| f \|^\#.$

Riemann 积分

如果对一个函数$f \in \mathcal{F}^\#(\R^n)$而言成立

$$\int^\# f \mathrm{d}x = \int_\# f \mathrm{d}x.$$

我们称$f$是 Riemann 可积的，并称其上积分为其 Riemann 积分，$\mathcal{F}^\#(\R^n)$中所有 Riemann 可积的函数全体$R(\R^n)$构成$\mathcal{F}^\#(\R^n)$的一个子空间。

$f \in \mathcal{F}^\#(\R^n)$的 Riemann 可积性有如下等价刻画：

1. $f$Riemann 可积。
2. 对任意$\varepsilon > 0$存在$\phi_\varepsilon \in \mathcal{E}(\R^n)$使得$\| f - \phi_\varepsilon \|^\# < \varepsilon.$
3. 存在一个序列$\{ \phi_k \} \subset \mathcal{E}(\R^n)$使得它依 Jordan 容度收敛于$f.$

这表明：$(\mathcal{E}(\R^n), d^\#)$在$\mathcal{F}^\#(\R^n)$中的闭包是$(R(\R^n), d^\#).$且 Riemann 积分算子$R: f \mapsto \int f \mathrm{d}x$是$\mathcal{E}(\R^n)$上元积分算子的唯一连续延拓。

参考资料

1. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.