Jordan 标准形

Jordan 标准形是矩阵的最重要的一类相似标准型，它在矩阵的化简以及相关问题上有重要作用。

Jordan 块和 Jordan 标准形[]

设矩阵 $A \in \mathbb{P}^{n \times n}$ 的某个初等因子 $p_i^t (\lambda)$ 的因子 $p_i (\lambda)$ 在 $\mathbb{P}$ 上是一次多项式，即 $p_i^t (\lambda) = (\lambda - \lambda_i)^t$ 时，它所对应的 Jacobson 块是

J_i = \begin{pmatrix} \lambda_i \\ 1 & \lambda_i \\ & 1 & \lambda_i \\ & & \ddots & \ddots \\ & & & 1 & \lambda_i \end{pmatrix}

这时，我们就称

J_i

是对应于

p_i^t (\lambda)

的 Jordan 块。

此外，Jordan 块还有另外一种写法： $J_i^\text{T} = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 \\ & \lambda_i & 1 \\ & & \lambda_i & \ddots \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & \lambda_i \end{pmatrix}$ ，容易看出它和上面介绍的互为转置关系。

和 Jordan 块可交换的矩阵必可以表示为该 Jordan 块的多项式。

如果 $A$ 的所有 Jacobson 块都是 Jordan 块，就称 $A$ 的 Jacobson 标准形是 Jordan 标准形。

因此，只有当 $A$ 在 $\mathbb{P}$ 上的所有初等因子都是一次因式的幂次时 $A$ 才有Jordan 标准形。特别地，任何数字矩阵在复数域 $\mathbb{C}$ 上都有 Jordan 标准形。

例子[]

例如，六阶方阵 $A$ 的初等因子是

1,1,\lambda+1,(\lambda+1)^2,(\lambda+1)^3

那么它对应的 Jordan 标准形是

J_i = \begin{pmatrix}-1\\&-1\\&1&-1\\&&&-1\\&&&1&-1\\&&&&1&-1\end{pmatrix}

矩阵的相似化简[]

通过矩阵的 Jordan 标准形我们可以给出矩阵相似化简的完整刻画：

$A \in \mathbb{P}^{n \times n}$ 有 Jordan 标准形当且仅当 $m_A (\lambda)$ 只有一次不可约因式，进而 $A$ 的所有初等因式都是一次式的幂；
$A \in \mathbb{P}^{n \times n}$ 相似为对角矩阵当且仅当 $m_A (\lambda)$ 只有一次不可约因式且没有重根，进而 $A$ 的所有初等因式都是一次式的一次幂。

设 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 相似于 ${\displaystyle J = \begin{pmatrix} J_1 \\ & J_2 \\ && \ddots \\ &&& J_s \end{pmatrix} = P^{-1} A P}$ ，通过寻找初等因子的方法可以找到它的 Jordan 标准形，以下介绍寻求满足 $J = P^{-1} A P$ 的可逆矩阵 $P$ ：

将 $P$ 分块为 $P = (P_1~P_2~\cdots~P_s)$ 的形式，使其分法与 Jordan 标准形的行（或列）分块一致，对每个 Jordan 块，都有 $P_i J_i = A P_i$ ，再对每个 $P_i$ 分为列向量的形式 $P_i = (p_{i_1}~p_{i_2}~\cdots~p_{i_{t_i}})$ ，于是

(p_{i_1}~p_{i_2}~\cdots~p_{i_{t_i}}) \begin{pmatrix} \lambda_i \\ 1 & \lambda_i \\ & \ddots & \ddots \\ & & 1 & \lambda_i \end{pmatrix} = A (p_{i_1}~p_{i_2}~\cdots~p_{i_{t_i}})

进而，由分块矩阵的运算得到如下方程组

{\displaystyle \begin{cases} \lambda_i p_{i_1} + p_{i_2} = A p_{i_1} \\ \lambda_i p_{i_2} + p_{i_3} = A p_{i_2} \\ \cdots \\ \lambda_i p_{i_{t_i-1}} + p_{i_{t_i}} = A p_{i_{t_i-1}} \\ \lambda_i p_{i_{t_i}} = A p_{i_{t_i}} \\ \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} (\lambda_i E - A) p_{i_{t_i}} = \theta \\ (\lambda_i E - A) p_{i_{t_i-1}} = - p_{i_{t_i}} \\ \cdots \\ (\lambda_i E - A) p_{i_1} = - p_{i_2} \\ \end{cases}}

对右边的方程组从上向下顺次解出

p_{i_1}, p_{i_2}, \cdots, p_{i_{t_i}}

（这也称为对应于 Jordan 块

J_i

的广义特征向量）即可。