Jensen 不等式

Jensen 不等式（詹森不等式、延森不等式或琴生不等式）又名凸不等式，是分析中的一个著名不等式。

基本内容

设函数$f(x)$是区间$I$上的凸函数，对任意$\{ x_k \}_{k=1}^n \subset I$和任意满足$\sum_{k=1}^n \omega_k = 1$的$\{\omega_k\}_{k=1}^n \subset [0, 1]$都有

$$f\left( \sum_{k=1}^n \omega_k x_k \right) \leqslant \sum_{k=1}^n \omega_k f(x_k).$$

其中，$\omega_k$也称作是$x_k$的权。上述不等关系是说：加权平均的凸像小于等于凸像的加权平均。

对于$f(x)$是区间$I$上的凹函数的情形，仅需将上述不等号方向改变即可。

常见情形是对幂函数$f(x) = x^\alpha$，对数函数$f(x) = \ln x$应用上述不等式证明一些结论。

连续情形

将上述不等式取极限，权重变为密度函数，这样便会得到连续情形的不等式，即积分形式

设函数$f(x)$是区间$[a, b]$上的有界可积函数，函数$p(x)$在$[a, b]$上可积非负且$\int_a^b p(x) \mathrm{d}x > 0.$当$G(x)$是$f([a, b])$上的凸函数时，有

$$G \left( \dfrac{\int_a^b p(x) f(x) \mathrm{d}x}{\int_a^b p(x) \mathrm{d}x} \right) \leqslant \dfrac{\int_a^b p(x) G(f(x)) \mathrm{d}x}{\int_a^b p(x) \mathrm{d}x}.$$

积分平均值的凸平均不等式是其特例，在那里$p(x) = 1, \forall x \in [a, b].$

多元情形

如果多元函数$f(x)$在$\R^m$上是凸函数，另设$U \subset \R^n$是有界开集，向量值函数$u: U \to \R^m$可积，那么有

$$f\!\left( \dfrac{1}{m(U)} \int_U u \mathrm{d}x \right) \leqslant \dfrac{1}{m(U)} \int_U f(u) \mathrm{d}x.$$

这里$m(U)$是$U$在$\R^n$中的测度。

测度情形

假设$(X, \mathcal{F}, \mu)$是测度空间且$E \in \mathcal{F}, \mu(E) < +\infty.$$g: E \to (a, b) \in L^1(E, \mu)$且$F$是$(a,b)$上的凸函数，那么有

$$F\!\left( \dfrac{1}{\mu(E)} \int_E g(x) \mathrm{d}\mu \right) \leqslant \dfrac{1}{\mu(E)} \int_X F(g(x)) \mathrm{d}\mu.$$

参见

• 凸函数
• Young 不等式
• Hölder 不等式
• Minkowski 不等式

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
2. 周民强, 《实变函数论（第三版）》, 北京大学出版社, 北京, 2016-10, ISBN 978-7-3012-7647-1.