Jacobson 标准形

Jacobson 标准形是矩阵的一类相似标准型，它和矩阵的初等因子相关。

Jacobson 块

定义

设矩阵$A \in \mathbb{P}^{n \times n}$的一个初等因子是$p^t (\lambda) = (a_s \lambda^s + a_{s-1} \lambda^{s-1} + \cdots + a_1 \lambda + a_0)$（进而，它在$\mathbb{P}$上不可约），那么称$st$阶方阵 $$J = \begin{pmatrix} F \\ N & F \\ & \ddots & \ddots \\ && N & F \\ &&& N & F \end{pmatrix}$$ 为对应于$p^t (\lambda)$的 Jacobson 块。

其中，$F$是对应于$p(\lambda)$友阵，$N$是只有右上角处的元素为$1$的$s$阶方阵，即$N = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}.$

例子

例如，（$\mathbb{Q}$上的不可约）初等因子$(\lambda^2 - 2 \lambda + 4)^2$的 Jacobson 块是 $$J = \begin{pmatrix} F & O \\ N & F \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -4 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}$$ 再如初等因子$(\lambda + 2)^3$的 Jacobson 块是 $$J = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ \end{pmatrix}$$

性质

$p^t (\lambda)$的 Jacobson 块的特征矩阵$\lambda E - J$中，$D_{st-1} (\lambda) = 1, D_{st} (\lambda) = p^t (\lambda)$。因此$\lambda E - J$的等价标准型是 $$J = \begin{pmatrix} 1 \\ & \ddots \\ && 1 \\ &&& p^t (\lambda) \end{pmatrix}$$

Jacobson 标准形

设矩阵$A \in \mathbb{P}^{n \times n}$的全部初等因子是 $$p_1 (\lambda), p_2 (\lambda), \cdots, p_s (\lambda)$$ 它们相应的 Jacobson 块分别为 $$J_1, J_2, \cdots, J_s$$ 则矩阵$A$相似于如下形式的分块矩阵 $$J = \begin{pmatrix} J_1 \\ & J_2 \\ && \ddots \\ &&& J_s \end{pmatrix}$$ 我们将$J$称作矩阵$A$的 Jacobson 标准形。

上下节

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• 下一节：Jordan 标准形

  参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.