Jacobi 行列式

Jacobi 行列式是数学分析中多元函数的微分在标准正交基下对应的矩阵的行列式之绝对值。这里我们介绍两个 Euclid 空间之间的可微映射的 Jacobi 行列式的概念，特别是映射定义域空间和值域空间维数不一样的时候。

以下我们均假设$f: \R^n \to \R^m$连续可微，这个条件可以减弱为几乎处处可微以定义几乎处处的 Jacobi 行列式。

下面的结果我们是在实数域上讨论的。可以将其推广到复数域上去，只不过涉及到转置（经典伴随）的部分要改为共轭转置（共轭伴随）。

线性映射情形

如果$f$线性，那么在$\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}$各自的一组标准正交基下存在一个表示矩阵$A \in \R^{m \times n}$，那么

1. 若$n\leqslant m$，由极分解可知存在半正定矩阵$S\in \mathbb {R} ^{n\times n}$和由标准正交列组成的矩阵$O\in \mathbb {R} ^{m\times n}$使得$$A=OS,\quad {\text{rank }}A={\text{rank }}S.$$
2. 若$n\geqslant m$，由极分解可知存在半正定矩阵$S\in \mathbb {R} ^{m\times m}$和由标准正交行组成的矩阵$O\in \mathbb {R} ^{n\times m}$使得$$A=SO^{\text{T}},\quad {\text{rank }}A={\text{rank }}S.$$

不论哪种情况，我们都可以定义$f$的 Jacobi 行列式是 $$[\![f]\!]=[\![A]\!]:=|\det S|.$$ 它具有如下基本性质：

1. $[\![A]\!]=[\![A^{\text{T}}]\!]$。
2. $[\![A]\!]^{2}={\begin{cases}\det A^{\text{T}}A&n\leqslant m,\\\det AA^{\text{T}}&n\geqslant m.\end{cases}}$

Binet-Cauchy 定理

如果$n\leqslant m$，那么$[\![A]\!]^{2}$是$A$的所有$n$阶子方阵的行列式（即余子式）的平方和。

一般映射情形

假设$f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$连续可微，$f(x)=(f^{1}(x),f^{2}(x),\cdots ,f^{m}(x))$，那么它的梯度矩阵可以写成 $$Df={\begin{pmatrix}\partial _{1}f^{1}&\cdots &\partial _{n}f^{1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\partial _{1}f^{m}&\cdots &\partial _{n}f^{m}\\\end{pmatrix}}_{(m\times n)}$$ 称为$f$在$x \in U$点处的 Jacobi 矩阵，同时称$[\![Df]\!]$是$f$在点$x \in U$处的 Jacobi 行列式，也记作$Jf$。

仿射测度定理

关于线性映射可以将（Lebesgue）可测集变为可测集，进一步它们之间的比例系数就是我们定义的 Jacobi 行列式，即有如下基本的测度关系。

给定线性映射$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},n\leqslant m$（在标准正交基下对应的矩阵是$A \in \R^{m \times n}$），那么对任意$\mathcal{L}^n$可测集$E \subset \R^n$我们有

$${\mathcal {H}}^{n}(f(E))=[\![f]\!]{\mathcal {L}}^{n}(E).$$

其中${\mathcal {H}}^{n}$是$n$维 Hausdorff 测度。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

分情况讨论。假设$A$有极分解$A=OS.$

1. 如果$[\![f]\!]=0$，那么${\text{dim}}(f(\mathbb {R} ^{n}))={\text{dim}}(\mathbb {R} ^{n})<n$因此${\mathcal {H}}^{n}(f(\mathbb {R} ^{n}))=0.$
2. 如果$[\![f]\!]>0$，那么对任意的球$B(x,r)\subset \mathbb {R} ^{n}$有$${\begin{aligned}{\mathcal {H}}^{n}(f(B(x,r)))&={\mathcal {L}}^{n}(O^{\text{T}}f(B(x,r)))={\mathcal {L}}^{n}(O^{\text{T}}OS(B(x,r)))\\&={\mathcal {L}}^{n}(S(B(x,r)))={\mathcal {L}}^{n}(S(x+rB(0,1)))\\&={\mathcal {L}}^{n}(x+rS(B(0,1)))=r^{n}{\mathcal {L}}^{n}(S(B(0,1)))\\&=r^{n}{\mathcal {L}}^{n}(S(B(0,1)))=r^{n}|\det S|{\mathcal {L}}^{n}(B(0,1))\\&=[\![f]\!]{\mathcal {L}}^{n}(B(0,r)).\end{aligned}}$$
3. 下面我们对一般的可测集$E$，定义$\mu (E):={\mathcal {H}}^{n}(f(E))$，我们可以得到$\mu$是对$\mathcal{L}^n$绝对连续的 Radon 测度，且 R-N导数是$$D_{{\mathcal {L}}^{n}}\mu (x)=\lim _{r\to 0}{\dfrac {{\mathcal {H}}^{n}(f(B(x,r)))}{{\mathcal {L}}^{n}(B(x,r))}}=[\![f]\!].$$进而对任意 Borel 集$E$都有${\mathcal {H}}^{n}(f(E))=\int _{E}[\![f]\!]\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{n}=[\![f]\!]{\mathcal {L}}^{n}(E).$

对偶地我们有

给定线性映射$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},n\geqslant m$（在标准正交基下对应的矩阵是$A \in \R^{m \times n}$），那么对任意$\mathcal{L}^n$可测集$E \subset \R^n$我们有 $$\int _{\mathbb {R} ^{m}}{\mathcal {H}}^{n-m}(E\cap f^{-1}(\{y\}))\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}=[\![f]\!]{\mathcal {L}}^{n}(E).$$

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下、我们需要先证明映射$y\mapsto {\mathcal {H}}^{n-m}(E\cap f^{-1}(\{y\}))$是${\mathcal {L}}^{m}$可测的，然后证明他的可积性。以下不妨假设$f$对应的矩阵有极分解$A=SO^{\text{T.}}$

1. 当${\text{dim}}(f(\mathbb {R} ^{n}))<m$时，由于对$y\in \mathbb {R} ^{m}-f(\mathbb {R} ^{n})$而言$f^{-1}(\{y\})=\varnothing$，这也就表示对${\mathcal {L}}^{m}$几乎出处的$y$成立$E\cap f^{-1}(\{y\})=\varnothing$，进而${\mathcal {H}}^{n-m}(E\cap f^{-1}(\{y\}))=0.$而同时由于${\text{dim}}(S(\mathbb {R} ^{m}))={\text{dim}}(f(\mathbb {R} ^{n}))<m$，故$[\![f]\!]=|\det S|=0.$
2. 如果$f$是正交投影（$\R^n$中单位正交基的行构成的矩阵），那么$f^{-1}(\{y\})$是$n-m$维的线性子流形，由 Fubini 定理可知$y\mapsto {\mathcal {H}}^{n-m}(E\cap f^{-1}(\{y\}))$是${\mathcal {L}}^{m}$可测的，且

$${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{m}}{\mathcal {H}}^{n-m}(E\cap f^{-1}(\{y\}))\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}&=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{E\cap f^{-1}(\{y\})}(z)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n-m}(z)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(y)\\&=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\int _{\mathbb {R} ^{n-m}}\chi _{E-y}(z)\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n-m}(z)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(y)\\&=\int _{\mathbb {R} ^{m}}\int _{\mathbb {R} ^{n-m}}\chi _{E}(z)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{n-m}(z)\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(y)\\&={\mathcal {L}}^{n}(E).\quad ({\text{F1}})\end{aligned}}$$

1. 如果${\text{dim}}(f(\mathbb {R} ^{n}))=m$即$[\![f]\!]>0$，这说明$S$可逆，我们将$O^{\text{T}}$分解为$P, Q$的乘积，其中$P$是上一条的正交投影，$Q$是$\R^n$上的正交变换，同样由 Fubini 定理我们可以得到$y\mapsto {\mathcal {H}}^{n-m}(E\cap f^{-1}(\{y\}))$是${\mathcal {L}}^{m}$可测的，且

$${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{m}}{\mathcal {H}}^{n-m}(E\cap f^{-1}(\{y\}))\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(y)&=\int _{\mathbb {R} ^{m}}{\mathcal {H}}^{n-m}(E\cap Q^{-1}P^{-1}S^{-1}(\{y\}))\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(y)\\&{\overset {y=Sz}{=\!=\!=}}\int _{\mathbb {R} ^{m}}{\mathcal {H}}^{n-m}(E\cap Q^{-1}P^{-1}(\{z\})\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(Sz)\\&=|\det S|\int _{\mathbb {R} ^{m}}{\mathcal {H}}^{n-m}(E\cap Q^{-1}P^{-1}(\{z\})\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(z)\\&{\overset {\text{(F2)}}{=\!=}}|\det S|\int _{\mathbb {R} ^{m}}{\mathcal {H}}^{n-m}(Q(E)\cap P^{-1}(\{z\})\mathrm {d} {\mathcal {L}}^{m}(z)\\&{\overset {\text{by (F1)}}{=\!=\!=\!=}}|\det S|{\mathcal {L}}^{n}(Q(E))=[\![f]\!]{\mathcal {L}}^{n}(A).\end{aligned}}$$期间${\text{F2}}$是 Hausdorff 测度的正交不变性。

如果$f$是一般的非线性映射，但是满足 Lipschitz 连续条件，也有类似的性质存在：

给定 Lipschitz 连续的映射$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},n\leqslant m$，那么对任意$\mathcal{L}^n$可测集$E \subset \R^n$我们有

1. $f(A)$是${\mathcal {H}}^{n}$可测的；
2. 下面的积分不等式成立：$$\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {H}}^{0}(E\cap f^{-1}(\{y\}))\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n}\leqslant ({\text{Lip}}(f))^{n}{\mathcal {L}}^{n}(E).$$

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我们不妨假设${\mathcal {L}}^{n}(E)<+\infty$，否则可以用有界集去覆盖$E$从而得到第一条结论，而第二条结论在${\mathcal {L}}^{n}(E)=+\infty$时是平凡的。

由 Lebesgue 测度的内正则性，对任意正整数$i$存在有界闭集$K_{i}\subset E$使得${\mathcal {L}}^{n}(K_{i})\geqslant {\mathcal {L}}^{n}(E)+1/i.$于是${\mathcal {L}}^{n}(E-K_{i})<1/i.$连续函数$f$映紧集$K_i$为紧集$f(K_{i})$，故$f(K_{i})$是${\mathcal {H}}^{n}$可测的。进一步由$$\bigcup _{i\in \mathbb {N} }f(K_{i})=f\!\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }K_{i}\right)$$可得 $${\begin{aligned}{\mathcal {H}}^{n}\!\left(f(A)-f\!\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }K_{i}\right)\right)&\leqslant {\mathcal {H}}^{n}\!\left(f\!\left(A-\!\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }K_{i}\right)\right)\right)\\&\leqslant ({\text{Lip}}(f))^{n}{\mathcal {L}}^{n}\!\left(A-\!\left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }K_{i}\right)\right)=0.\end{aligned}}$$ 这就表明$f(A)$是${\mathcal {H}}^{n}$可测的。

将$\R^n$划分为边长为$1/k$的半开半闭方体族$B_k$的并集，即定义 $$B_{k}=\left\{Q=\left({\tfrac {c_{i}}{k}},{\tfrac {c_{i}+1}{k}}\right]:(c_{i})_{i=1}^{n}\in \mathbb {Z} ^{n}\right\}.$$ 再定义 $$g_{k}(y):=\sum _{Q\in B_{k}}\chi _{f(E\cap Q)}(y).$$ 根据第一条证明的结论，它是${\mathcal {H}}^{n}$可测的，因为$f(E\cap Q)$是${\mathcal {H}}^{n}$可测的，可测函数的极限依然可测，上述定义的$g_{k}(y)$实际上表示使得$f^{-1}(y)\cap E\cap Q$非空的方体$Q\in B_{k}$的数量，下面我们断言 $$\lim _{k\to \infty }g_{k}(y)={\mathcal {H}}^{0}(E\cap f^{-1}(\{y\})).$$

1. 如果$E\cap f^{-1}(\{y\})$至少存在一个聚点，这时${\mathcal {H}}^{0}(E\cap f^{-1}(\{y\}))=+\infty$，这个聚点记作$x_0$，反证法，如果$\{g_{k}(y)\}$不趋近于正无穷，那么存在有界子列$\{g_{k_{j}}(y)\}_{j}$使得$x_0$被方体族$B_{k_{j}}$覆盖的时候，每个方体的元素不超过$M$个，由于$x_0$最多与$2^n$个方体相邻，因此$x_0$的边长为$2/k$的方形邻域中最多只有$2^{k}M$个点，这就和$x_0$是聚点矛盾了。
2. 如果$E\cap f^{-1}(\{y\})<+\infty$，那么只要方体的边长足够的小，就能将所有$E\cap f^{-1}(\{y\})$中的点都分在不同的方体之中，这样就有等式关系成立。

由可测函数列的极限依然可测就得到映射${\mathcal {H}}^{0}(E\cap f^{-1}(\{y\}))$是${\mathcal {H}}^{n}$可测的。

最后由非负可测函数列的 Levi 积分定理得到 $${\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {H}}^{0}(E\cap f^{-1}(\{y\}))\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n}&=\lim _{k\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{m}}g_{k}\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n}\\&=\lim _{k\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{m}}\sum _{Q\in B_{k}}\chi _{f(E\cap Q)}\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n}\\&=\lim _{k\to \infty }\sum _{Q\in B_{k}}\int _{\mathbb {R} ^{m}}\chi _{f(E\cap Q)}\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n}\\&=\lim _{k\to \infty }\sum _{Q\in B_{k}}{\mathcal {H}}^{n}(f(E\cap Q))\\&\leqslant ({\text{Lip}}(f))^{n}\limsup _{k\to \infty }\sum _{Q\in B_{k}}{\mathcal {L}}^{n}(E\cap Q)\\&=({\text{Lip}}(f))^{n}{\mathcal {L}}^{n}(E).\end{aligned}}$$

给定 Lipschitz 连续的映射$f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},n\geqslant m$，那么对任意$\mathcal{L}^n$可测集$E \subset \R^n$我们有

1. $A\cap f^{-1}(\{y\})$对$\mathcal{L}^n$几乎处处的$y$是${\mathcal {H}}^{n-m}$可测的；
2. 下面的积分不等式成立：$$\int _{\mathbb {R} ^{m}}{\mathcal {H}}^{n-m}(E\cap f^{-1}(\{y\}))\mathrm {d} {\mathcal {H}}^{n}\leqslant {\dfrac {\alpha (m)\alpha (n-m)}{\alpha (n)}}({\text{Lip}}(f))^{m}{\mathcal {L}}^{n}(E).$$

其中$\alpha (m)$是$\R^m$中单位球的体积。

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这个定理的证明和上一个定理有类似之处，但是要复杂的多，参见Evans, Lawrence Craig and Gariepy, Ronald F, Measure theory and fine properties of functions (Revised Edition)[§3.4], Chapman and Hall/CRC, 2015, ISBN 978-1-4822-4238-6.

上面的结果被用来推导著名的面积公式和余面积公式。

参考资料

1. Lawrence C. Evans, Ronald F. Gariepy, Measure Theory and Fine Properties of Functions(4th Ed.), Studies in Advanced Mathematics Vol.5, CRC Press, 1991, ISBN 978-0-8493-7157-8.