Jacobi 多项式

Jacobi 多项式是超几何函数$F(\alpha, \beta, \gamma, z)$的特殊情形，它是$\alpha$或$\beta$为负整数$-n$时的超几何函数，是多项式，又称超几何多项式。

定义

一种定义是$F(-n, \beta, \gamma, z)$，其中$n$是正整数，即有 $$F(-n, \beta, \gamma, z) = \sum_{k=0}^\infty \dfrac{(-n)_k (\beta)_k}{k! (\gamma)_k} z^k = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \binom{n}{k} \dfrac{(\beta)_k}{(\gamma)_k} z^k.$$ 另一种常见的定义是直接规定记号 $$P_n^{(\alpha, \beta)} (x) = \binom{n+\alpha}{n} F \!\! \left(-n, n+\alpha+\beta+1, \alpha+1, \dfrac{1-x}{2} \right).$$ 令$z = \dfrac{1-x}{2}, \gamma = \alpha+1, p = \alpha+\beta+1$，有 $$P_n^{(\alpha, \beta)} (x) = \binom{n+\gamma-1}{n} F(-n, p+n, \gamma, z).$$

性质

1. $F(-n, \beta, \gamma, 1) = \dfrac{(\gamma-\beta)_n}{(\gamma)_n}.$
2. 积分表示：$$F(-n, \beta, \gamma, z) = \dfrac{(-1)^n \Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma+n)} \dfrac{n!}{2\pi\text{i}} \int_C t^{-n-1} (1-t)^{\gamma+n-1} (1-zt)^{-\beta} \mathrm{d}t.$$这里$C$是正向绕$t=0$一周的简单闭曲线，$t = 1, \dfrac{1}{z}$在$C$的外部，$|\arg(1-t)| < \pi, \gamma \ne 0, -1, -2, \cdots, -n+1.$且$z=0$时多值函数$(1-zt)^{-\beta}$取主值1.
3. 母函数：$(1-v)^{\beta-\gamma} [1-v(1-z)]^{-\beta} = \sum_{n=0}^\infty \dfrac{(\gamma)_n}{n!} v^n F(-n, \beta, \gamma, z).$
4. 导数关系：$F(-n, \beta, \gamma, z) = \dfrac{\Gamma(\gamma)}{\Gamma(\gamma+n)} z^{1-\gamma} (1-z)^{\gamma+n-\beta}\dfrac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d} z^n} [z^{\gamma+n-1} (1-z)^{\beta-\gamma}].$
5. $\{ w_n = F(-n, p+m, \gamma, z) \}_{n=0}^\infty$是$[0,1]$上带权$\rho(z) = z^{\gamma-1} (1-z)^{p-\gamma}$的完备正交多项式，且$$\int_0^1 w_n^2 (z) z^{\gamma-1} (1-z)^{p-\gamma} \mathrm{d}z = \dfrac{(p+n)_n}{(\gamma)_n} \dfrac{\Gamma(\gamma) \Gamma(p+n-\gamma-1)}{\Gamma(p+2n-1)} n!.$$

参考资料

1. 王竹溪, 郭敦仁, 《特殊函数概论》, 北京大学出版社, 北京, 2000-05, ISBN 978-7-3010-4530-5.