泛函分析中 Hilbert 空间(希尔伯特空间)是一类十分重要且应用广泛的空间。
定义[]
完备的内积空间称为 Hilbert 空间。假设
是一个线性空间,其中定义了内积
函数,这时称
为内积空间,内积空间中内积会诱导一个范数

因此

是
赋范线性空间,范数会诱导一个度量,其中的极限

因此它是度量空间,倘若上述空间还是完备的(即每个 Cauchy 列都是收敛列),我们就说
是 Hilbert 空间。由此可知它同时也是 Banach 空间。展开例子折叠例子
- 通常定义的 Euclid 空间是 Hilbert 空间。
空间和
空间是 Hilbert 空间。
- 解析函数空间是 Hilbert 空间。
Parseval 等式[]
内积空间到 Hilbert 空间,多了完备性条件,这直接决定了我们可以在其中研究最佳逼近问题,它的基础是正交表示,即如下的 Parseval 等式:
假设
是 Hilbert 空间,
是一组正交规范集,那么下列叙述等价:
是封闭的,即
。这时称
是正交规范基;
是完备的,即
中不存在非零元与
正交(即不存在
);
- 成立 Parseval 等式:

正交分解[]
Hilbert 空间
中,假设
是
的一个闭线性子流形,那么
,一个向量
满足

当且仅当

进一步可以证明 Hilbert 空间上的正交分解定理:
- 假设
是 Hilbert 空间
的闭线性子空间,那么
满足
即
我们称
是
在
上的正交投影,
是斜投影。
进一步,假设
是
的正交规范基,那么
是
的正交规范基。
同构定理[]
两个 Hilbert 空间
是同构的,是指存在一个线性双射
保持内积运算:

可以证明,有至多可数正交基

的 Hilbert 空间是且仅是
可分的 Hilbert 空间,同时
- 如果
中的个数有限,那么必和
同构(
是该 Hilbert 空间作为线性空间的系数域);
- 如果
中的个数是无限可数的,那么必和
空间或
空间同构,同时
空间和
空间也是同构的。
该定理指出我们研究 Hilbert 空间仅需研究
空间即可,因为
是和 Euclid 空间同构的,它比较简单。
Fourier 系数[]
假设 Hilbert 空间
有单位正交基
,
为有限数或
,那么对于任意的
,称

是

的 Fourier 系数,这个概念是 Fourier 分析中引入 Hilbert 空间是命名的,特别地,

(或
![{\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/cbc31971714979fd21c38e8cdd106022bb10ef80)
)上有单位正交基

这样一个元素

确定的 Fourier 系数是狭义的 Fourier 系数。
假设
是 Hilbert 空间的一个闭子空间,那么
在
中有正交补空间
,进而
有直和分解
,即对任意的
存在唯一的
使得
,令
,它就被称为是
关于
的投影算子,它一定是连续的,因为
是闭的。
Hilbert 空间

上的线性算子

如果满足:
自伴。


那么
是且仅是投影算子。
下面这个关于投影算子的刻画是谱理论的单位分解的基础:
参考资料