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泛函分析中 Hilbert 空间(希尔伯特空间)是一类十分重要且应用广泛的空间。

定义[]

完备的内积空间称为 Hilbert 空间。假设是一个线性空间,其中定义了内积函数,这时称为内积空间,内积空间中内积会诱导一个范数

因此赋范线性空间,范数会诱导一个度量,其中的极限

因此它是度量空间,倘若上述空间还是完备的(即每个 Cauchy 列都是收敛列),我们就说是 Hilbert 空间。由此可知它同时也是 Banach 空间展开例子折叠例子

  1. 通常定义的 Euclid 空间是 Hilbert 空间。
  2. 空间空间是 Hilbert 空间。
  3. 解析函数空间是 Hilbert 空间。

Parseval 等式[]

内积空间到 Hilbert 空间,多了完备性条件,这直接决定了我们可以在其中研究最佳逼近问题,它的基础是正交表示,即如下的 Parseval 等式

假设是 Hilbert 空间,是一组正交规范集,那么下列叙述等价:

  1. 是封闭的,即。这时称是正交规范基;
  2. 是完备的,即中不存在非零元与正交(即不存在);
  3. 成立 Parseval 等式:

正交分解[]

Hilbert 空间中,假设的一个闭线性子流形,那么,一个向量满足

当且仅当
进一步可以证明 Hilbert 空间上的正交分解定理:

假设是 Hilbert 空间的闭线性子空间,那么满足我们称上的正交投影,是斜投影。

进一步,假设的正交规范基,那么的正交规范基。

同构定理[]

两个 Hilbert 空间是同构的,是指存在一个线性双射保持内积运算:

可以证明,有至多可数正交基的 Hilbert 空间是且仅是可分的 Hilbert 空间,同时

  1. 如果中的个数有限,那么必和同构(是该 Hilbert 空间作为线性空间的系数域);
  2. 如果中的个数是无限可数的,那么必和空间或空间同构,同时空间和空间也是同构的。

该定理指出我们研究 Hilbert 空间仅需研究空间即可,因为是和 Euclid 空间同构的,它比较简单。

Fourier 系数[]

假设 Hilbert 空间有单位正交基为有限数或,那么对于任意的,称

的 Fourier 系数,这个概念是 Fourier 分析中引入 Hilbert 空间是命名的,特别地,(或)上有单位正交基
这样一个元素确定的 Fourier 系数是狭义的 Fourier 系数。

投影算子[]

假设Hilbert 空间的一个闭子空间,那么中有正交补空间,进而有直和分解,即对任意的存在唯一的使得,令,它就被称为是关于的投影算子,它一定是连续的,因为是闭的。

Hilbert 空间上的线性算子如果满足:
  1. 自伴。

那么是且仅是投影算子。

下面这个关于投影算子的刻画是谱理论的单位分解的基础:

假设是 Hilbert 空间上的连续线性算子,是它们对应的值域,那么
  1. ,若,那么
  2. 是投影算子当且仅当可交换,且此时是映入的投影算子,特别地,
  3. 且在这个时候是到中的正交补空间上的投影算子。

参考资料

  1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义(上册)(第二版)》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.
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