Hermite 矩阵

在矩阵论中，Hermite 矩阵（厄尔米特矩阵，埃尔米特矩阵）是实对称矩阵在复数域下的推广。在赋范线性空间中的推广为 Hermite 算子或对称算子。

概念

设有一矩阵$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$满足$A^\text{H} = A$，我们就说矩阵$A$是 Hermite 矩阵，这里$A^{\text{H}}$是$A$的共轭转置，即如果$A = (a_{ij})$，那么$A^\text{H} = (\overline{a_{ji}})$。实对称矩阵是其特例。

设矩阵$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$满足$A^\text{H} = -A$，我们就说矩阵$A$是斜 Hermite 矩阵，实反对称矩阵是其特例。

$A$是（斜） Hermite 矩阵当且仅当$A^{\text{H}}$是（斜） Hermite 矩阵。

性质

设$A, B \in \C^{n \times n}$是 Hermite 矩阵，那么

1. $A^\text{H} A, A A^\text{H}, A + A^\text{H}, A^k, k \in \N^+$都是 Hermite 矩阵；
2. 当$A$可逆时，$A^{-1}$也是 Hermite 矩阵；
3. $a, b \in \C, aA + bB$是 Hermite 矩阵；
4. $A - A^\text{H}$是斜 Hermite 矩阵；
5. $A$的每个主子阵都是 Hermite 矩阵；
6. Hermite 矩阵的特征值均是实数，斜 Hermite 矩阵的特征值均是纯虚数。

HS 分裂

任何一个矩阵$M \in \C^{n \times n}$都可以分裂为一个 Hermite 矩阵$H$和一个斜 Hermite 矩阵$S$的和。 $$H = \dfrac{1}{2}(A + A^\text{H}), \quad S = \dfrac{1}{2} (A - A^\text{H}).$$ 这种分裂是唯一的。

进一步，$A$还可以分裂为$A = H + \text{i} T$，这里$T = - \text{i} S$是 Hermite 矩阵。可以看出这样分裂后 Hermite 矩阵在矩阵中的地位和实数在复数中的地位相似。

维数问题

1. Hermite 矩阵的主对角线上全是实数，$\C^{n \times n}$上的全体 Hermite 矩阵的维数为$\dfrac{n(n+1)}{2}$；
2. 斜 Hermite 矩阵的主对角线上全是零，$\C^{n \times n}$上的全体 Hermite 矩阵的维数为$\dfrac{n(n-1)}{2}.$

等价刻画

设$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$，那么$A$是 Hermite 矩阵当且仅当以下条件中至少一个成立：

1. $\forall x \in \C^n, x^\text{H} A x$是实数；
2. $A$是正规矩阵，且$A$的特征值都是实数；
3. $\forall S \in \C^{n \times n}, S^\text{H} A S$是 Hermite 矩阵。

谱定理

$A \in \mathbb{C}^{n \times n}$是 Hermite 矩阵当且仅当存在一个酉矩阵$U \in \C^{n \times n}$以及一个实对角矩阵$\Lambda \in \R^{n \times n}$使得$\Lambda = U^\text{H} A U$，即$A$可酉相似对角化。当$A$是实对称矩阵时上述酉矩阵$U$是正交矩阵。

参考资料

1. Roger A. Horn, Matrix Analysis(2nd Ed.), Cambridge University Press, 2012-10, ISBN 978-0-5215-4823-6.