Hermite 插值

在数值分析的函数逼近中，Hermite 插值是一种已知某些点及这些点处的一些导数值的情形下求对应多项式函数的问题。

两点插值

求一次数不超过三次的多项式$p(x)$，使得$p(x_0) = f_0, p'(x_0) = f_0', p(x_1) = f_1, p'(x_1) = f_1'$，其中$f_0, f_0', f_1, f_1'$是常数。

实际上，上述问题可以转化为四维线性空间$\R_4 [x]$上的讨论。为此，考虑规范化（$x_0 = 0, x_1 = 1$）的满足如下条件

$$\begin{pmatrix} \varphi_{0,0} (0) & \varphi_{0,0}' (0) & \varphi_{0,0} (1) & \varphi_{0,0}' (1) \\ \varphi_{0,1} (0) & \varphi_{0,1}' (0) & \varphi_{0,1} (1) & \varphi_{0,1}' (1) \\ \varphi_{1,0} (0) & \varphi_{1,0}' (0) & \varphi_{1,0} (1) & \varphi_{1,0}' (1) \\ \varphi_{1,1} (0) & \varphi_{1,1}' (0) & \varphi_{1,1} (1) & \varphi_{1,1}' (1) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$

的基函数（基底）

$$\begin{cases} \varphi_{0,0} (x) = (1+2x)(1-x)^2, \\ \varphi_{0,1} (x) = x(1-x)^2, \\ \varphi_{1,0} (x) = x^2(3-2x), \\ \varphi_{1,1} (x) = x^2(1-x). \\ \end{cases}$$

若令

$$\begin{cases} h_{0,0} (x) = \varphi_{0,0} \left( \dfrac{x-x_0}{x_1-x_0} \right), \\ h_{0,1} (x) = (x_1-x_0) \varphi_{0,1} \left( \dfrac{x-x_0}{x_1-x_0} \right), \\ h_{1,0} (x) = \varphi_{1,0} \left( \dfrac{x-x_0}{x_1-x_0} \right), \\ h_{1,1} (x) = (x_1-x_0) \varphi_{1,1} \left( \dfrac{x-x_0}{x_1-x_0} \right). \\ \end{cases}$$

则有

$$p(x) = f_0 h_{0,0} (x) + f_0' h_(0,1) (x) + f_1 h_{1,0} (x) + f_1' h_(1,1) (x).$$

且这样的多项式是唯一的。

一般情形

若给定了节点$x_i$处的函数值$f(x_i)$以及导数值$f^{k} (x_i), k = 1, 2, \cdots, m_i$，其中$i = 0, 1, \cdots, n.$在多项式空间$\R_N [x]$上（$N = n + \sum_{i=1}^n m_i$）有唯一一个多项式$p(x)$，使得它的函数值和导数值在以上节点处一致于给定的值，其证明和两点插值一样。

$$p(x) = \sum_{i=0}^n \sum_{k=0}^{m_i} f_i^{(k)}(x_i) \cdot h_{i,k}(x).$$

$h_{i,k}(x)$是基函数，它们满足

$$h_{i,k}^{(l)} (x) = \begin{cases} 1, & i = j, l = k, \\ 0, & \text{otherwise}, \end{cases} \quad i,j = 0,1,\cdots,n;k,l = 0,1,\cdots,m_i.$$

运用 Newton 插值的思路可以得到

$$p(x) = \sum_{i=0}^n \left[ \sum_{k=0}^{m_i} \dfrac{f_i^{(k)}(x_i)}{k!} (x - x_i)^k \right] \cdot (x - x_0)^{m_0+1} (x - x_1)^{m_1+1} \cdots (x - x_{i-1})^{m_{i-1}+1}.$$

参考资料

1. 黄云清, 《数值计算方法》, 科学出版社, 北京, 2012-06, ISBN 978-7-0302-3428-5.