Heine 定理

Heine 定理也被称为归结原则，它指出了数列极限和函数极限之间的关系，即从函数值的变化趋势来解决函数极限的存在问题。

定理内容

这个定理对函数的六种极限过程都是成立的，这里仅叙述 $x \to x_0$ 的情况：
定义在 $x_0$ 的去心邻域上的函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 点的极限存在当且仅当对任何在这个邻域内以 $x_0$ 为极限的数列 $\{ x_n \}$，$\lim _{n \to \infty} f(x_n)$ 存在且相等。

用数学语言来说就是：$\lim _{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall x_n \to x_0~(n \to \infty), \lim _{n \to \infty} f(x_n) = A.$

加强版的 Heine 定理

对于 $x \to x_0^{+}$，$x \to x_0^{-}$，$x\to +\infty$ 和 $x\to -\infty$，有加强版的 Heine 定理，这里以 $x \to x_0^{+}$ 为例说明：
定义在 $x_0$ 的去心右邻域上的函数 $f(x)$ 在 $x_0^{+}$ 点的极限存在当且仅当对任何在这个邻域内以 $x_0$ 为极限的递减数列 $\{ x_n \}$，$\lim _{n \to \infty} f(x_n)$ 存在且相等。

用途

它将数列极限和函数极限联系起来，因此可以通过数列极限的性质和 Heine 定理来证明函数极限的性质，同样也可将数列的 单调有界定理和 Cauchy 收敛准则推广到函数范围。

这个定理的逆否形式可以很方便地用来判断一个函数的极限是否存在，也就是说，如果可以找到一个以 $x_0$ 为极限的数列 $\{ a_n \}$ 使得 $\lim _{n \to \infty} f(a_n)$ 不存在，或者找到两个都以 $x_0$ 为极限的数列 $\{ a_n \}$ 和 $\{ b_n \}$ 使得 $\lim _{n \to \infty} f(a_n)$ 和 $\lim _{n \to \infty} f(b_n)$ 存在但不相等，那么可以断言 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 不存在。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.