Heine-Borel 定理

Heine-Borel 定理（海涅-博雷尔定理）又称有限覆盖定理，是实数理论的一组等价定理之一，它体现了实数的紧性。

内容

闭区间$[a_n, b_n]$的任一开覆盖$\mathbf{H}$都有有限的子覆盖。即设对于有界闭区间$[a, b]$，若存在无限个开区间$(a_n, b_n)$使得$[a, b] \subset \bigcup_{n=1}^\infty (a_n, b_n)$，那么可以选出有限个开集使得$[a, b] \subset \bigcup_{k=1}^n (a_k, b_k).$

导出其它定理

确界定理

设$S$为非空有上界的数集，我们证明S 有上确界 不妨设$S$没有最大值。设$b$为$S$的一个上界，下面用反证法来证明$\sup S = \zeta$存在 假设$\sup S$不存在，取$a \in S$, 对任一$x \in [a, b]$，依下述方法确定一个相应的邻域$U(x; \delta_x)$

①若$x\in S$，因$S$中没有最大值，所以至少存在一点$x' \in S$，使$x' < x$，这时取$\delta_{x} = x' - x$；

②若$x \notin S$且$x$不是$S$的上界，同样存在$x' \in S$，使$x < x'$，这时取$\delta_{x} = x - x'$；

③若$x \notin S$，且$x$是$S$的上界，因$\sup S$存在，故有$\delta > 0$，使得$U(x; \delta_x)$中的点都是$S$的上界。

于是我们得到了$[a, b]$的一个开覆盖：

$$\mathbf{H} = \{ U(x; \delta_{x})| x \in [a, b] \}.$$

根据有限覆盖定理，$\mathbf{H}$有有限子覆盖：

$$\overline{\mathbf{H}} = \{ U(x_k; \delta_{x_k}) | k = 1,2,\cdots, m \} \subset \mathbf{H}.$$

将$U(x; \delta_x)$分成两类: 若$U(x; \delta_x)$是③中所确定的开区间，我们把$U(x; \delta_x)$称为是第二类的，否则称为是第一类的。我们得到$a$所属的邻域是第一类的，$b$所属的邻域是第二类的，所以至少有一个第一类邻域与某个第二类邻域相交，这是不可能的。

单调有界定理

即单调有界数列的有极限 证: 不妨设数列$\{ x_n \}$单调递增有上界$M$, 且若$\{ x_n \}$中有最大值, 则易知$\{ x_n \}$收敛于某常数, 从而定理得证, 以下假设$\{ x_n \}$中没有最大值, 我们用反证法来证明 (1) 设$\{ x_n \}$没有极限。对任意取定自然数$n_{0}$有$x_{n_{0}}<M$, 下面作闭区间$[x_{n_{0}}, M]$的对应开覆盖$\mathbf{H}$. 设$x \in \left[x_{n_{0}}, M\right]$,

a) 若$x=x_{n'}$。因为$\{ x_n \}$中没有最大值, 所以至少存在某个自然数$n''$, 使得$x_{n'} \leqslant x_{n''}$, 这时取$\delta_x = x_{n'} - x_{n''}$得$x$的邻域$U(x; \delta_x)$;

b) 若$x \notin \{ x_n \}$且$x$不是$\{ x_n \}$的上界, 同样存在$x_{n'} \in \{x_{n}\}$, 使$x<x_{n''}$, 取$\delta_x = x_{n'} - x_{n''}$得$x$的邻域$U(x; \delta_x)$;

c) 若$x \notin \{ x_n \}$且$x$是$\{ x_n \}$的上界, 因为$\lim_{n\to\infty}x_n$不存在, 故存在$x$的邻域$U(x; \delta_x)$, 使得它不含有$\{ x_n \}$中的任何项, 于是我们得到了闭区间$\left[x_{n_{0}}, M\right]$的一个开覆盖

$$\mathbf{H} = \{ U(x; \delta_{x})| x \in [a, b] \}.$$

(2) 由有限覆盖定理, 选出有限个开区间:

$${\overline {\mathbf {H} }}=\{U(x;\delta _{x})|x\in [a,b],k=1,2,\cdots ,m\}\supset [x_{n_{0}},M].$$

(3) 将$\overline{\mathbf{H}}$分成两类: 若$\overline{\mathbf{H}}$中的每个邻域都是(c)中情形, 则称之为第一类, 否则称为第二类。我们得到$x_{n_0}$所属的邻域是第一类, $M$所属的邻域是第二类. 由式#A1，所以至少有一个第一类开区间与某个第二类开区间相交, 这是不可能的, 矛盾。

聚点定理

证: 设$E$为有界无穷点集, 因此存在$M > 0$, 使得$E \subset [-M,M]$. 由于$[-M, M]$的聚点均含于$[-M, M]$, 故$E$若有聚点, 必含于$[-M, M]$

反证法: 若$E$无聚点, 即$[-M, M]$中任何一点都不是$E$的聚点, 则对于$\forall x \in[-M,M]$, 必有相应的$\delta_x > 0$, 使得$U\left(x; \delta_{x}\right)$内至多只有点$x \in E$(若$x \notin E$, 则$U(x; \delta_x)$中不含$E$中之点). 所有这些邻域的全体形成$[-M, M]$的一个无限开覆盖:

$$\mathbf{H} = \left\{U(x; \delta_{x}) | x \in[-M,M] \right\}$$

由有限覆盖定理知,$\mathbf{H}$中存在有限个开区间能覆盖$[-M, M]$. 记

$$\overline{\mathbf{H}} = \left\{U(x_k; \delta_{x_k}) | x_k \in [-M,M], k=1,2, \cdots, m\right\} \subset \mathbf{H}$$

为$[-M, M]$的一个有限开覆盖, 则$\overline{\mathbf{H}}$也覆盖了$E$. 由$U\left(x; \delta_{x}\right)$的构造知, $\overline{\mathbf{H}}$中$m$个邻域至多有$m$个点属于$E$, 这与$E$为无穷点集相矛盾. 因此, 在$[-M, M]$内一定有$E$的聚点. 由此聚点定理得证.

Cauchy 收敛准则

(反证法) 假设 Cauchy 列$\left\{x_{n}\right\}$不收敛, 易证$\left\{x_{n}\right\}$为有界数列, 取$\varepsilon=1$, 因$\left\{x_{n}\right\}$是 Cauchy 列, 所以$N_0 \in \N^+$, 当$n>N_0$时有$\left|x_{n}-x_{N_0 +1}\right|<1$, 亦即当$n>N_0$时$\left|x_{n}\right| \leqslant\left|x_{N_0 +1}\right|+1$即$\left\{x_{n}\right\}$有界。

即存在闭区间$[a, b]$使得$\left\{x_{n}\right\} \subset [a, b]$。则$\forall x \in [a, b], \exists U(x; \delta_{x})$使得$U(x; \delta_x)$中只含有$\left\{x_{n}\right\}$中的有限多项 (否则, 若$\forall \delta>0, U(x; \delta_{x})$都有$\left\{x_{n}\right\}$中的无限多项, 则易证$\left\{x_{n}\right\}$收敛, 这与假设矛盾)。

从而得$[a, b]$的一个开覆盖

$$\mathrm{H} = \{ U(x; \delta_{x}) | x \in [a, b] \}$$

由有限覆盖定理知, 存在$\mathrm{H}$的一个有限子覆盖

$$\overline{\mathrm{H}} = \left\{ U\left(x_k; \delta_{x_k} \right) | x_k \in [a, b], k=1, 2, \cdots, m \right\} \subset \mathbf{H}.$$

所以$\cup \mathrm{H}_1$只含有$\left\{x_{n}\right\}$中的有限多个点, 这与$\left(\cup \mathrm{H}_1 \right) \supset [a, b] \supset \left\{x_{n}\right\}$是矛盾的, 假设错误，因此$\left\{x_{n}\right\}$必收敛。

区间套定理

即证明若$\left\{\left[a_n, b_n\right]\right\}_{n=1}^{\infty}$是一闭区间套, 则存在唯一$\zeta$属于所有的闭区间$[a_n, b_n], n=1,2,\cdots.$

用反证法证明: (1)假设$\left[a_{n}, b_{n}\right], n=1, 2, \cdots$没有公共点, 则$\left[a_1, b_1\right]$上的任何一点都不是$\left\{\left[a_n, b_n\right]\right\}_{n=1}^{\infty}$的公共点, 从而总存在一个邻域$U(x; \delta_x)$使得$U(x; \delta_x)$不与所有的$\left[a_n, b_n\right]$相交, 即存在$\left[a_{n_x}, b_{n_x}\right]$使$\left[a_{n_x}, b_{n_x}\right] \cap U(x; \delta_x) = \varnothing.$

现让$x$取遍$\left[a_1, b_1\right]$上的所有点, 就得到一个开区间集:

$$\mathrm{H} = \{ U(x; \delta_x) | x \in [a_1, b_1] \}$$

(2) 由有限覆盖定理, 选出有限个开区间:

$$\overline{\mathrm{H}} = \{ U(x_k; \delta_{x_k}) | x_k \in [a_1, b_1], k = 1,2,\cdots, m \} \subset \mathbf{H}$$

覆盖闭区间$[a, b]$, 其中$U(x_k; \delta_{x_k}) \cap [a_{n_{x_k}}, b_{n_{x_k}}] = \varnothing$;

(3) 因为$[a_{n_{x_k}}, b_{n_{x_k}}]$只有有限个, 由闭区间套定理的条件, 它们是一个包含着一个, 因此其中一定有一个最小区间, 设为$\left[a_{n_1}, b_{n_1}\right]$. 这时

$$[a_{n_1}, b_{n_1}] \cap U(x_k; \delta_{x_k}) = \varnothing, k=1,2, \cdots, m.$$

从而

$$\left[ a_{n_1}, b_{n_1} \right] \bigcap \left( \bigcup_{k=1}^{n} U(x_k; \delta_{x_k}) \right) = \varnothing.$$

这就与$[a_{n_1}, b_{n_1}] \subset [a_{1}, b_{1}]$矛盾. 所以, $\left[a_{n}, b_{n}\right], n=1, 2, \cdots$应有公共点.

推广

在有限维 Euclid 空间$\R^d$上，它可以做适当推广，即设$A$是$\R^d$上的有界闭集，若存在无限个开集$O_\lambda$使得$A \subset \bigcup_{n=1}^\infty O_{\lambda}$，那么可以选出有限个开集使得$A \subset \bigcup_{k=1}^n O_{\lambda_k}$

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.