Hausdorff 空间

豪斯多夫空間（Hausdorff space）是指任意兩個不同點可以「分開」的空間。

定義

若對一個拓樸空間$X$內任意兩不同點$x$和$y$而言，都存在各自的鄰域個$U$和$V$使得$U$和$V$是不相交的，則稱$X$為一豪斯多夫空間。

度量空間即是豪斯多夫空間之例子，拓撲流形是歐氏的第二可數的豪斯多夫空間。

性質

1. 豪斯多夫空間是可继承的：豪斯多夫空間的子空間也是豪斯多夫空間。
2. 豪斯多夫空間是可乘的：豪斯多夫空間的乘積空間也是豪斯多夫空間。
3. 在豪斯多夫空間當中，任意柯西序列至多只有一個極限點。反過來，如果一個第一可數空間中任意序列至多有一個極限點，那麽這個空間是豪斯多夫空間。
4. 豪斯多夫空間中連續映射的不動點集是閉集。
5. 假設$Y$是豪斯多夫空間，$f: X \to Y$是連續映射，那麽它的圖像$G_f = \{ (x, f(x)): x \in X \}$是$X \times Y$的閉集。
6. 拓撲空間$X$是豪斯多夫空間儅且僅當$X \times X$的對角子集$\Delta = \{ (x, x): x \in X \}$是閉集。
7. 從平凡拓撲空間到豪斯多夫空間的連續映射只有常數映射。
8. 給定任意的豪斯多夫空間$X$，存在一個豪斯多夫空間$Y$以及$a, b \in Y, a \ne b$使得每一個連續映射$f: Y \to X$滿足$f(a)=f(b).$

局部紧性

假设$X$是局部紧的 Hausdorff 空间，它有如下的性质：

1. 假设$U \subset X$是开集，$x \in U$，则存在$x$的一个紧致邻域$K$满足$K \subset U.$
2. 假设$U \subset X$是开集，$K \subset U$是紧集，那么存在一个预紧开集$V$使得$K \subset V \subset \overline{V} \subset U.$
3. （Urysohn 引理）假设$X$是局部紧的 Hausdorff 空间，$U \subset X$是开集，$K \subset U$是紧集，那么存在一个值域为$[0,1]$的连续函数使得$f(K) = 1$且在$U$的一个紧子集外取值为零。
4. （Tietze 扩张定理）假设$X$是局部紧的 Hausdorff 空间，$K \subset X$是紧集，$f: K \to \R$连续，那么存在一个连续函数$F: X \to \R$使得$F|_K = f$，进一步，$F$可以要求有紧支集。
5. $T_3$的，详见拓扑分离公理。
6. 子集$E \subset X$是闭集当且仅当对任意紧集$K \subset X$来说$U \cap K$是闭集。

连续函数空间

假设$X$是局部紧的 Hausdorff 空间，$C_c(X)$表示$X$上具有紧支集的复值连续函数全体，它是一个线性空间，在其上定理连续模做度量

$$\rho(f, g) = \max_{x \in X} |f(x) - g(x)|$$

后成为度量空间。同时$\| f - g \| = \rho(f, g)$后成为赋范线性空间，它是连续函数空间$C(X)$的子空间。定义$C_0(X)$是$C_c(X)$在上述度量拓扑下的闭包，那么它是 局部紧的 Hausdorff 空间。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.
2. 熊金城, 《点集拓扑讲义（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2020-06, ISBN 978-7-0405-3617-1.