Hausdorff 定理

在一般的度量空间中列紧集是完全有界集，反之不真。在完备空间中反过来是对的，这就是 Hausdorff 定理。

内容

设$(\mathcal{X}, \rho)$是完备度量空间，$M \subset \mathcal{X}$是子集合，那么$M$是列紧集当且仅当$M$是完全有界集。

证明

必要性

反证法，假设$M$不是完全有界集，根据定义存在一个$\varepsilon_0 > 0$，$M$没有有限的$\varepsilon_0$网。

任取$x_1 \in M$，$\exists x_2 \in M \backslash B(x_1, \varepsilon_0);$

任取$x_2 \in M$，$\exists x_3 \in M \left\backslash \bigcup_{i=1}^2 B(x_i, \varepsilon_0) \right. ;$

……

任取$x_k \in M$，$\exists x_{k+1} \in M \left\backslash \bigcup_{i=1}^k B(x_i, \varepsilon_0) \right. ;$

因此得到点列$\{ x_k \} \subset M$，但是$\rho(x_n, x_m) \geqslant \varepsilon_0, \forall n \ne m.$与$M$是列紧集矛盾。

说明：上述论证过程中没有用到度量空间的完备性条件，因此，对任意度量空间来说列紧集是完全有界集。

充分性

以下论证使用了分析中常用的技巧——对角线方法。
设$\{ x_n \} \subset M$，我们的目的是构造$\{ x_n \}$的一个收敛子列，因为完备空间中 Cauchy 列和收敛列等价，我们转而构造子 Cauchy 列。注意到$M$完全有界：

令$\varepsilon=1$，存在$y_1 \in M$，使得$\{ x_n \}$的一个子列$\{ x_n^{(1)} \}$满足$\{ x_n^{(1)} \} \subset B(y_1, 1);$

令$\varepsilon=1/2$，存在$y_2 \in M$，使得$\{ x_n^{(1)} \}$的一个子列$\{ x_n^{(2)} \}$满足$\{ x_n^{(2)} \} \subset B(y_2, 1/2);$

……

令$\varepsilon = 1/k$，存在$y_k \in M$，使得$\{ x_n^{(k-1)} \}$的一个子列$\{ x_n^{(k)} \}$满足$\{ x_n^{(k)} \} \subset B(y_k, 1/k);$

抽取对角线元素$\{ x_k^{(k)} \}$，则$\forall \varepsilon > 0, \exists N = [ 2 / \varepsilon ] + 1, \forall p \in \N^+$，当$n > N$时有 $$\begin{align} \rho(x_{n+p}^{(n+p)}, x_n^{(n)}) & \leqslant \rho(x_{n+p}^{(n+p)}, y_n) + \rho(y_n, x_n^{(n)}) \\ \leqslant \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n} < \varepsilon. \end{align}$$ 于是$\{ x_n^{(n)} \}$是 Cauchy 列。

参考资料

1. 张恭庆, 林源渠, 《泛函分析讲义（上册）（第二版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-01, ISBN 978-7-3013-0964-3.