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在线性代数中,一个线性空间Hamel 基是这个空间中的特殊的极大线性无关集,具有 Hamel 基的空间中的任意元素都可以唯一表示为 Hamel 基中的元素的有限线性组合。

定义[]

假设是一个线性空间,如果存在的一个子集指标集)满足对任意的都存在有限的指标子集使得

且这种表示是唯一的(即是线性无关的)。

存在性[]

有限维线性空间都具有 Hamel 基,只要选择这个空间的通常的基即可,但是无穷维空间 Hamel 基的存在性是需要证明的,我们指出:

如果线性空间,那么具有 Hamel 基。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
假设中所有的线性无关子集的全体,定义这些集合之间的序关系为集合的包含,那么是一个有上界的偏序集,Zorn 引理表明这个偏序集有极大元(可以不唯一),它就是一个 Hamel 基。

基数[]

我们指出:一个线性空间的任意两个 Hamel 基具有相同的基数(证明参看这里)。这使得我们可以定义一个线性空间的 Hamel 维数(任意中的 Hamel 基的基数)。

拓扑的效果[]

如果是无穷维的 Banach 空间,那么 Hamel 基中的元素是不可数的。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
反证法,假设可数,不妨取,记生成的的线性子空间为,那么

Baire 纲定理得到存在使得有非空内点,我们断言,这样就和无限维假设矛盾。
实际上取满足存在一个使得中的开球
由于的子空间,而,这样对任意的我们都有

如果我们承认连续统假设,那么上述定理将表明(否则参看这个文件的引理3.4

因此,空间有不可数的 Hamel 基,注意空间中的坐标基(取第个坐标分量为1其余为0)不是 Hamel 基,因为不满足有限线性表出性质。

关于可分空间的 Hamel 基有如下重要的性质:

如果是无穷维的可分的 Banach 空间,那么的 Hamel 基中的元素数量和实数等势。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
假设的可数稠密子集,那么中的任意一个点都是中的序列极限,而,于是其中

这表明,在一定程度上,可分空间和空间的线性表出现行为差不多,它们都是具有“极小” Hamel 基的无穷维 Banach 空间。

参考资料

  1. L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.), International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4.
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