在线性代数中,一个线性空间 的 Hamel 基 是这个空间中的特殊的极大线性无关集,具有 Hamel 基的空间中的任意元素都可以唯一表示为 Hamel 基中的元素的有限线性组合。
定义 [ ]
假设
X
{\displaystyle X}
是一个线性空间 ,如果存在
X
{\displaystyle X}
的一个子集
{
e
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{ e_i \}_{i \in I}}
(
I
{\displaystyle I}
是指标集 )满足对任意的
x
∈
X
{\displaystyle x \in X}
都存在有限的指标子集
J
⊂
I
{\displaystyle J \subset I}
使得
x
=
∑
i
∈
J
x
i
e
i
.
{\displaystyle x = \sum_{i \in J} x_i e_i.}
且这种表示是唯一的(即
{
e
i
}
i
∈
I
{\displaystyle \{ e_i \}_{i \in I}}
是线性无关的)。
存在性 [ ]
有限维线性空间都具有 Hamel 基,只要选择这个空间的通常的基即可,但是无穷维空间 Hamel 基的存在性是需要证明的,我们指出:
如果
X
{\displaystyle X}
是
线性空间 ,那么
X
{\displaystyle X}
具有 Hamel 基。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
假设
P
{\displaystyle P}
是
X
{\displaystyle X}
中所有的线性无关子集的全体,定义这些集合之间的
序关系 为集合的包含,那么
P
{\displaystyle P}
是一个有上界的偏序集,
Zorn 引理 表明这个偏序集
P
{\displaystyle P}
有极大元
S
{\displaystyle S}
(可以不唯一),它就是一个 Hamel 基。
基数 [ ]
我们指出:一个线性空间的任意两个 Hamel 基具有相同的基数 (证明参看这里 )。这使得我们可以定义一个线性空间
X
{\displaystyle X}
的 Hamel 维数(任意
X
{\displaystyle X}
中的 Hamel 基的基数)。
拓扑的效果 [ ]
如果
X
{\displaystyle X}
是无穷维的
Banach 空间 ,那么 Hamel 基
S
{\displaystyle S}
中的元素是不可数的。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
用
反证法 ,假设
S
{\displaystyle S}
可数,不妨取
I
=
N
{\displaystyle I = \N}
,记
{
e
i
}
i
=
1
n
{\displaystyle \{ e_i \}_{i=1}^n}
生成的
X
{\displaystyle X}
的线性子空间为
X
n
{\displaystyle X_n}
,那么
X
=
⋃
n
=
1
∞
X
n
.
{\displaystyle X = \bigcup_{n=1}^\infty X_n.}
由
Baire 纲定理 得到存在
n
0
∈
N
{\displaystyle n_0 \in \N}
使得
X
n
0
{\displaystyle X_{n_0}}
有非空内点,我们断言
X
=
X
n
0
{\displaystyle X = X_{n_0}}
,这样就和无限维假设矛盾。
实际上取
a
∈
X
n
0
{\displaystyle a \in X_{n_0}}
满足存在一个
r
>
0
{\displaystyle r > 0}
使得
X
{\displaystyle X}
中的开球
B
(
a
,
r
)
:=
{
x
∈
X
:
‖
x
−
a
‖
<
r
}
⊂
X
n
0
.
{\displaystyle B(a, r) := \{ x \in X: \| x - a \| < r \} \subset X_{n_0}.}
由于
X
n
0
{\displaystyle X_{n_0}}
是
X
{\displaystyle X}
的子空间,而
B
(
0
,
r
)
=
B
(
a
,
r
)
−
a
⊂
X
n
0
{\displaystyle B(0, r) = B(a, r) - a \subset X_{n_0}}
,这样对任意的
x
∈
X
{\displaystyle x \in X}
我们都有
x
r
‖
x
‖
∈
X
n
0
{\displaystyle \dfrac{x}{r\|x\|} \in X_{n_0}}
即
x
∈
X
n
0
.
{\displaystyle x \in X_{n_0}.}
如果我们承认连续统假设 ,那么上述定理将表明
card
S
⩾
|
R
|
.
{\displaystyle \text{card } S \geqslant |\R|.}
(否则参看这个文件的引理3.4 )
因此,
l
1
{\displaystyle l^1}
空间有不可数的 Hamel 基,注意
l
1
{\displaystyle l^1}
空间中的坐标基(
e
i
{\displaystyle e_i}
取第
i
{\displaystyle i}
个坐标分量为1其余为0)不是 Hamel 基,因为不满足有限线性表出性质。
关于可分空间 的 Hamel 基有如下重要的性质:
如果
X
{\displaystyle X}
是无穷维的可分的 Banach 空间,那么
X
{\displaystyle X}
的 Hamel 基
S
{\displaystyle S}
中的元素数量和实数等势。
关于这个定理/命题的证明,单击这里以显示/折叠
假设
D
{\displaystyle D}
是
X
{\displaystyle X}
的可数稠密子集,那么
X
{\displaystyle X}
中的任意一个点都是
D
{\displaystyle D}
中的序列极限,而
|
D
N
|
=
|
D
|
|
N
|
=
|
N
|
|
N
|
=
c
{\displaystyle |D^\N| = |D|^{|\N|} = |\N|^{|\N|} = c}
,于是
|
X
|
⩽
|
D
N
|
=
c
.
{\displaystyle |X| \leqslant |D^\N| = c.}
而
|
S
|
⩽
|
X
|
⩽
c
.
{\displaystyle |S| \leqslant |X| \leqslant c.}
其中
c
=
|
R
|
=
2
|
N
|
.
{\displaystyle c = |\R| = 2^{|\N|}.}
这表明,在一定程度上,可分空间和
l
p
{\displaystyle l^p}
空间的线性表出现行为差不多,它们都是具有“极小” Hamel 基的无穷维 Banach 空间。
参考资料 L.A. Lusternik, V.J. Sobolev, Elements of Functional Analysis(3rd Ed.) , International monographs on advanced mathematics & physics, John Wiley & Sons Inc, 1975, ISBN 978-0-4705-5650-4
.