Hahn-Jordan 分解

Hahn 分解（Hahn decomposition）和 Jordan 分解是测度论中关于符号测度的两个分解定理，它们表明符号测度可以用测度来描述，这两个分解最初都是在 Lebesgue 积分的分解中提出的，可以将它们引入到一般的符号测度中去。

给定可测空间$(X, \mathcal{F})$上的符号测度$\varphi$，首先我们定义如下非负单调规范的集函数 $$\varphi^*(A) := \sup \{ \varphi(B): B \subset A, B \in \mathcal{F} \}.$$

Hahn 分解

我们可以证明：

假设有可测空间$(X, \mathcal{F})$上的符号测度$\varphi$，那么可以对全集$X$进行分割：$X^+ \cup X^- = X, X^+ \cap X^- = \varnothing$满足：$\forall A \in \mathcal{F}$都有

$$\varphi(A \cap X^+) \geqslant 0 \geqslant \varphi(A \cap X^-).$$ 我们就称$\{ X^+, X^- \}$是$X$在$\varphi$下的 Hahn 分解，这个分解在相差一个零测集的意义下是唯一的，即若存在两个 Hahn 分解$\{ X_1^+, X_1^- \}, \{ X_2^+, X_2^- \}$，那么

$$\begin{align} \forall A \in \mathcal{F}, \quad A \subset X_1^+ \Delta X_2^+ \Longrightarrow \varphi(A) = 0, \\ \forall B \in \mathcal{F}, \quad B \subset X_1^- \Delta X_2^- \Longrightarrow \varphi(B) = 0. \\ \end{align}$$

Jordan 分解

假设有可测空间$(X, \mathcal{F})$上的符号测度$\varphi$，那么存在测度$\varphi^+$和有限测度$\varphi^-$使得

$$\varphi = \varphi^+ - \varphi^-.$$ 且$\varphi^+ = \varphi^*, \varphi^- = (-\varphi)^*.$

上述分解称为$\varphi$的 Jordan 分解，这种分解是唯一的。

测度$\varphi^+, \varphi^-$分别称为$\varphi$的上变差和下变差，而$|\varphi| := \varphi^+ + \varphi^-$称为全变差，它们都是测度。

为了给出 Jordan 分解的另一种表述，我们可以引入奇异性的概念：假设有可测空间$(X, \mathcal{F})$上的两个符号测度$\varphi, \psi$，如果存在$N \subset \mathcal{F}$使得$|\varphi|(N^c) = |\psi|(N) = 0$，我们就称$\varphi$和$\psi$是相互奇异的，记作$\varphi \perp \psi.$

（Jordan 分解的再表述）假设有可测空间$(X, \mathcal{F})$上的符号测度$\varphi$，那么存在测度$\varphi^+$和有限测度$\varphi^-$使得

$$\varphi = \varphi^+ - \varphi^-, \quad \varphi^+ \perp \varphi^-.$$

参考资料

1. 程士宏, 《测度论与概率论基础》, 北京大学出版社, 北京, 2006-06, ISBN 978-7-3010-6345-3.